顶点代数

　　顶点代数（vertex algebra）又称顶点算子代数（vertex operator algebra），是共形场论（保角场论）之代数结构。其应用包括怪兽月光理论（Monstrous moonshine）与几何化朗兰兹纲领。

　　简介

　　顶点代数（vertex algebra）又称顶点算子代数（vertex operator algebra），是共形场论（保角场论）之代数结构。其应用包括怪兽月光理论（Monstrous moonshine）与几何化朗兰兹纲领。

　　1986 年，Richard Borcherds 受二维共形场论中用以插入场之顶点算子启发，提出顶点算子代数结构。 重要例子有：

　　晶格顶点算子代数（用以研究晶格共形场论），

　　来自仿射Kac-Moody 代数之表示之顶点算子代数 （用以研究Wess-Zumino-Witten 模型），

　　来自仿射Virasoro 代数之表示之Virasoro 顶点算子代数 （可用以研究极小模型），

　　I.Frenkel-J.Lepowsky-A/Meurman（于1988年）构造 之月光模（Moonshine module）V。

　　定义顶点算子代数之各公理抽象自物理学人所谓之手征代数（Chiral algebra），其严格数学定义由 Beilinson 与 Drinfeld 提出。12

　　定义

　　一顶点代数由以下资料组成：向量空间V,“单位元”1V，自态射T，乘法性映射： 或写作 ；并满足以下条件：：

　　1.(单位)V中每一元a，均符合

　　2.(位移)T(1) = 0， 且V中每元a，b， 均符合

　　3.(四顶点函数)V中每元a，b，c， 均符合

　　其中Y(a，z)Y(b，w)c，Y(b，w)Y(a，z)c， 与Y(Y(a，z-w)b，w)c分别为X(a，b，c;z，w)在V((z))((w))，V((w))((z))， 与V((w))((z-w))中之级数展开式。

　　此乘法映射常被写作“状态—场 对应”（state-field correspondence）：

　　 给V中每一向量配上一支以算子为值之形式分布（formal distribution），称作“顶点算子”；其物理意义为在原点插入一算子。T则是无穷小位移之一生成元。 “四顶点函数”公理统一了（误差不过奇异值之）结合律与交换律。 位移公理涵蕴Ta = a-21， 故Y的值决定了T的值。

　　分阶顶点代数

　　一Z+-分阶顶点代数为一顶点代数V的分阶：

　　 使每a∈ Vk与b∈ Vm， 符合anb∈ Vk+m-n-1。

　　设有一Z+-分阶顶点代数。 其一 Virasoro 元 为V中2一元 ω ， 使顶点算子

　　 符合以下条件：Vn中每一元a符合：

　　其中c为一常值，称“中心荷”（central charge）， 或“V之秩”。 此亦使V成为Virasoro 代数的一表示。3

　　本词条内容贡献者为:

　　孙和军 - 副教授 - 南京理工大学