狭义相对论

理论动机

早在1632年，伽利略就通过实验指出：相对于惯性系做匀速直线运动的任一惯性系，力学规律是相同的。这一观点在当时被广泛接受，被称为伽利略相对性原理。20世纪以前，物理学家的时空观是绝对时空观，反映不同惯性系之间时空坐标变换关系的公式是伽利略变换。伽利略相对性原理的数学表述自然是：在伽利略变换下，力学定律的形式不变。

对物理学家来说，伽利略相对性原理是不容质疑的，并且它是一个“管定律的定律”2。凡是不满足伽利略相对性原理的力学定律都是需要修改的。

直到19世纪，电磁学迅速发展，电磁学规律可简单地概括为麦克斯韦方程组。出乎意料地是：麦克斯韦方程组在伽利略变换下不是协变的。

对当时的部分物理学家而言，麦克斯韦方程组违反了伽利略相对性原理，最明显的道路是：修改麦克斯韦方程组以得到一个满足伽利略协变性的电磁学定律。

对另一部分物理学家来说，麦克斯韦方程组同样是被很多实验证实的电磁学理论，也具有不可动摇的地位。一种方法是：牺牲伽利略相对性原理的普遍性，承认伽利略相对性原理只适用于力学规律而不能被推广到电磁学的物理范畴；坚持麦克斯韦方程组是正确的，只不过麦克斯韦方程组中的c是电磁波相对一个特殊惯性系（当时称为“以太”）的传播速度，麦克斯韦方程组也只在这一参考系下成立3。因为“以太”是一个未经证实的猜测，这部分物理学家的首要任务是证实以太的存在，并证明电磁波相对以太参考系的传播速度为c。但是，对此进行的霍克实验、菲佐实验和迈克耳孙-莫雷实验（Michelson-Morley Experiment）对v/c的一阶效应和二阶效应的实验结果之间却相互矛盾1，使物理学家难以自圆其说。

在那个时代，只有爱因斯坦另辟蹊径。首先，迈克耳孙-莫雷实验的零结果使他坚信：真空中的光速与观测者的速度无关，恒为c（提出光速不变原理）。这意味着麦克斯韦方程组在任何惯性参考系中都成立，无需修改；结合伽利略相对性原理，他猜测：任何物理规律（不管是电磁学规律还是力学规律）在惯性系下都是相同的（提出狭义相对性原理）。现在，麦克斯韦方程组不具有伽利略变换的协变性，这说明伽利略变换没有正确地反映惯性系之间的时空坐标变换关系。因此，需要修改的是绝对时空观和对应的伽利略变换12。

理论内容

基本原理

狭义相对性原理：任何真实的物理规律在所有惯性系中应形式不变。

光速不变原理：任意一个惯性系中的观测者所测得的真空中的光速恒为c。

推论

时空观

由两条基本原理可严格地导出惯性系之间时空坐标变换的方程组，即洛伦兹变换。与伽利略变换不同：

（1）相对地面静止的S惯性系观测到的同时事件在相对地面匀速运动的S’系看来是不同时的，即同时的相对性。

（2）同一根尺子，相对尺匀速运动的观测者比相对尺静止的观测者测量的杆长要短，即尺缩效应。

（3）同一个钟，相对其匀速运动的观测者发现这个钟比相对其静止的情况下走得要慢，即钟慢效应。

（4）空间间隔和时间间隔是相对的（在惯性系变换下是改变的），但时空间隔（line element）在洛伦兹变换下是不变的（光速不变原理的直接要求）。

（5）S惯性系观测到的先后发生的两个事件在相对其匀速运动的S’系看来这两个事件的先后顺序可能是颠倒的。

（6）如果假定互为因果关系的两个事件在任何惯性系下都不可颠倒因果顺序，结合狭义相对论可知:任何信号的传播速度都不可能超过真空中的光速c。（5）可总结为：具有类空（spacelike）间隔的两个事件的时间顺序可以相互颠倒；具有类时（timelike）或类光（lightlike）间隔的两个事件的时间顺序不可颠倒。

在牛顿的绝对时空观中，时间与空间是绝对的，与观测者的运动状态无关，并且时间与空间是相互独立的4。现在，狭义相对论否定了这个观点。时间与空间是相对的，在惯性系变换下，它们都可能改变；时间与空间是不可分割的整体，它们一起构成的时空间隔在惯性系变换下是不变的。

对新理论的指导

狭义相对论将伽利略相对性原理提升到了更广泛的范畴，物理学规律（不仅仅是力学规律）都应具有惯性系变换下的协变性。因此，判断一个物理学定律是否正确，第一道门槛就是具有协变性（covariance）。考虑到，物理学定律大多是描述一些物理量的等式或不等式关系。显然，对物理量按照其在惯性系变换下的变换规律进行分类（洛伦兹标量、洛伦兹矢量和洛伦兹张量）将方便判断物理学定律的协变性。同时，这也为构造新的物理学定律指明了方向——只有特定的标量（scalar）、矢量（vector）、张量（tensor）的组合所构成的物理量才可能参与到特定的方程中。

（1）相对论力学

牛顿力学不是相对论协变的，必须修改。

首先，引入事件的概念：事件用P(x,y,z,t)表示，即空间的一点和时间的一瞬5。四维位置矢量表示为，时空度规表示为：

其次，研究对象是点粒子（particle），点粒子在时空中的历史轨迹是一系列事件（event）的集合，在四维时空中是一条曲线，称为该粒子的世界线（world line）。记录粒子所经历的时间需要一个标准钟（standard clock），钟的读数称为固有时（proper time）5。一般地，物理上引入一系列与粒子保持相对静止的瞬时惯性系，在瞬时惯性系所测量的粒子的运动时间即为粒子的固有时1。

最后，观测并记录点粒子的行为需要观者。一个观者只能对发生在自己世界线上的事件做直接观测，若要对全时空的任何事件进行观测，就需要处处设置观者5。若这些观者的世界线处处彼此不相交并且能充满整个时空，就构成了一个参考系（reference frame）。在所有观者中，其世界线为类时测地线的观者称为惯性观者（inertial observer），一个惯性观者可借助自己的世界线建立一个惯性坐标系，惯性坐标系的t轴重合于自己的世界线，垂直于由彼此正交的x、y、z轴构成的三维空间。

现在，假设一个惯性观者观测到一个粒子，其由到，粒子经历的坐标时（coordinate time）为对应的固有时间为

对应的固有时为

该粒子的四维速度（4-velocity）定义为

该粒子的四维加速度（4-acceleration）定义为

粒子受到的四维力（4-force）定义为

以上，,,都是三维空间的概念，定义保持与牛顿力学相同；都是四维洛伦兹矢量，分别称为：四维力，四维速度，四维加速度。现在，注意到牛顿第二定律为：

该定律不是相对论协变的，现在将,等三维概念替换为，等四维物理量，得到一种协变的形式：

注意到：

比较空间和时间部分，得到：

即粒子的相对论运动方程，m是在粒子的瞬时惯性系测得的粒子质量，称为固有质量（proper mass）或静止质量1。因为m在相对论力学中有特殊的含义，所以下面将一律采用表示固有质量。

若点粒子在运动中相对瞬时惯性系的质量不变（粒子不发生衰变），注意到以上空间部分的表达式可写为

m称为运动质量或相对论质量，称为相对论动量，是一个三维矢量。利用四维速度可构造一个四维洛伦兹动量，是其空间部分：

现在注意到以上时间部分的表述式

该式在牛顿力学（相对论低速近似）就是功能关系。

据此，称为相对论能量，即

该定义式称为相对论质能关系，它的物理含义1是:

1.物质系统所具有的总能量与总质量成正比

2.物质系统能量的变化与质量的变化成正比

3.能量是一个相对量，其与相对论动量可构成一个四维动量，能量在惯性系变化下会改变

4.在粒子的瞬时局域惯性系，粒子静止，观测到的粒子能量最小，但不一定等于零；换言之，粒子具有静止能量（固有能量）。

现在定义一个物理量

将的定义式代入功能关系，有

该式在牛顿力学（相对论低速近似）就是动能定理。

据此，称为相对论动能。

（2）电动力学

电动力学的基础是麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式。

麦克斯韦方程组是：

在洛伦兹变换下，可以验证，该方程组天生是协变的，无需修改；但是，引入电磁场张量（一个洛伦兹张量） 替换掉电场和磁场后可以更方便地看出其协变性

检查等式各项的洛伦兹指标，可知麦克斯韦方程组具有洛伦兹协变性。

带电粒子单位体元内（粒子的体元由粒子的瞬时惯性系测量，一般称为固有体元1，粒子的电荷和固有体元都是洛伦兹标量）在外电磁场中受到的洛伦兹力密度为：

该式就是洛伦兹力公式的四维表示，显然是协变的。

我们只是将洛伦兹力公式和麦克斯韦方程组写成了张量方程式，并没有修改两者，这说明电动力学是天生洛伦兹协变的。这是很自然的事情，因为狭义相对论的两大基本原理建立在电磁理论符合相对性原理的前提上16。一个惯性系的观测者仅测得电场而无磁场，相对其匀速运动的另一观测者却可能测得磁场的存在。狭义相对论解释了这一现象，电场和磁场是同一个统一客体-电磁场的不同侧面6。

补充:

1. 关于麦克斯韦方程组的协变性

这需要两个假设：是洛伦兹四矢量以及