[科普中国]-等价矩阵

简介

在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。1

证明a1,a2,....an,线性无关，而a1,a2,....an,b,r线性相关，所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,说明a1,a2,...an,b线性相关，同理x=0,可得a1,a2,....an,r线性相关。若x,y都不为零，两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可证明r可以用a1,a2,....an,b表示。这就说明a1,a2,....an,b与a1,a2,....an,r等价.综合可得命题得证。

当A和B为同型矩阵，且r（A）=r（B）时，A，B一定等价。

性质矩阵A和A等价(反身性）；

矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)

具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解

对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。2

规范形式其中对角线上的1的数目等于k。这是史密斯正则形式的一个特例，它将这个概念概括在向量空间上。