[科普中国]-发展方程

简介

发展方程（Evolution Equation），又称演化方程或者进化方程。广义的说，是包含时间变量t的许多重要的物理偏微分方程的统称。在物理、力学或其他自然科学中用来描述随时间变化的状态或过程。狭义的说，它是指可以用半群方法化为一个Banach空间中的抽象常微分方程的Cauchy问题来处理的那些数学物理方程、波动方程、热传导方程、Schrodinger方程、流体动力学方程组、KdV方程、反应扩散方程等等以及这些方程通过适当的方式耦合起来的耦合方程组，都属于发展方程的范畴。

分类发展方程包括线性发展方程和非线性发展方程。

线性发展方程对线性发展方程，我们知道，只要初值适当光滑，其Cauchy问题的解也必然具有适当的光滑性，而且在整个半空间t≥0上是整体存在的，作为一个最简单的例子，对下述Cauchy问题：

易知其解为如下的右传播：

显然，此解在t≥0上（实际上还在整个（t,x）平面上）是整体存在的，而且和初值有同样的正规性。1

非线性发展方程但对于非线性发展方程就不同了，一般来说，非线性发展方程的Cauchy问题的整体经典解通常只能在t的一个局部范围中存在，即使对充分光滑甚至还充分小的初值也是如此；相应的，解在有限时间内会失去正规性，而产生奇性（解本身或其导数趋于无穷），这一现象称为解的破裂（blow up）。为了说明这一点，给出下面的例子：

先看非线性常微分方程的情形，考察如下的Riccati方程的Cauchy问题

易知其解为

于是若，就有当时，有，从而发生解的破裂，而不能在t≥0上整体存在，这时，只能在时间区间[0,1/v0)上得到Cauchy问题的局部解。

分析上面这两个简单的例子表明，对非线性发展方程的Cauchy问题或混合初-边值问题，即使初值充分光滑（甚至充分小），其经典解的整体存在性一般是无法保证的，这是非线性发展方程区别于线性发展方程的一个重要特定。

但另一方面，在一些特殊的条件下，对非线性发展方程仍然可以得到整体经典解。同时，对非线性发展方程而言，应该考察下面两方面相辅相成的问题：

（1）在什么条件下，所考察的非线性发展方程的定解问题（包括Cauchy问题，各种混合初-边值问题及自由边界问题......）存在着唯一的整体经典解。并在此基础上研究解的整体性态，特别是当时的渐进性态。

（2）在什么条件下，所考察的非线性发展方程的定解问题不存在整体经典解，而必在有限时间内发生解的破裂现象。并在此基础上能深入考察解在破裂点的性态，例如究竟是解的本身还是某一阶偏导数首先发生破裂，解在破裂点的奇性特征以及破裂点集的性质等等。2