[科普中国]-自对偶命题

定义

自对偶命题（self-dual propositions ）是一种特殊的对偶命题，即意义一致的两个命题。例如，“三点及其两两连线组成一个三点形”与“三线及其两两交点组成一个三线形”，代表同一事实，就是自对偶命题，“一点在一直线上”与“一直线通过一点”也是自对偶命题1。

相关概念射影平面与欧氏平面的结构是不同的，例如在欧氏平面上两条直线不一定相交，而在射影平面上，两条直线必交于一点。因此射影平面具有一些特殊的属性，对偶原理就是射影平面的一个重要特性。在射影平面上，关于点与直线的结合性：“一点在一条直线上”与“一条直线通过一点”, 后一句可以看成是把前一句中的“点”改 为“直 线”、“直线”改为“点”、......在....上”改成“.....通过...”所得到的，我们把它们两者叫做互对偶的。下面介绍射影平面上的对偶原则：

对于对偶原则，我们将此概括成以下几点。

(1) 对偶元素：“点”与“直线”叫做射影平面上的对偶元素。

(2) 对偶关系：“......在.......上”与“.....通过...”是对偶关系；“连接”与“相交”是对偶关系。

(3) 对偶命题：在一个命题中，将对偶元素互换，对偶关系也同时互换而得到的新命题叫做原命题的对偶命题。若一命题与它的对偶命题本质上相同，则把它叫做自对偶命题。

(4) 对偶图形：将一图形中的元素换成它的对偶元素，关系换成对偶关系，而作出的新图形叫做原图形的对偶图形。若一图形与它的对偶图形相同，则把它叫做自对偶图形。

(5) 对偶原理: 在射影几何里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题一定成立。

由对偶原理知，互为对偶的两个射影命题，只要一个正确，另一个也是正确的，所以只要证明其中一个就行了。往往一个命题难以理解时，它的对偶命题却容易为直觉所接受。因而，两个对偶的射影命题，只需证明其中容易证明的一个，这样可以达到事半功倍的效果。在欧几里得几何里，“平面上任何两个不同点可以确定一条直线”，而对偶命题“平面上任何两条不同直线交于一点”则不成立。因为两条平行直线没有交点，所以对偶原理在欧几里得几何里不成立。可是也有一些欧几里得定理常常是正确的。当然,这时必须独立证明。所以在欧几里得几何里，对偶原则可以作为探求定理的工具