[科普中国]-正规命题函词

正规命题函词(normal propositional function)是GB系统中的一个基本概念，指仅含有正规概念、正规运算及正规约束变元的命题函词φ(X1，X2，…，Xn)，亦即正规命题函词可含有定义符号，但却是一个能与本原命题函词等价的合式公式，例如ᗄx(x∈A↔x⊆y)，∃a(a∈X→ᒣ(Cm(X)))，都是正规命题函词1。

基本介绍正规命题函词指仅含有正规概念、正规运算及正规约束变元的命题函词，在NBG系统中的正规命题函词允许含有定义符号，但它必须是一个能与某本原命题函词相等价的合式公式。例如：

是一个正规命题函词，因为我们有

亦即与本原命题函词相等价。

相关概念与定理类的一般存在性定理在GB系统中，可按命题函词的构造，归纳地证明如下两个关于类的一般存在定理。

定理1 若是除了之外，没有自由变元的本原命题函词，则存在一个类A，使对所有的集合，有

定理2若φ是正规命题函词，则存在一个类A，使对所有集合及类有

显然，上述定理2从两个方面推广了定理1，其一是定理2中的是正规命题函词，因而允许定义符号出现，定理1中的是本原命题函词，因而不允许有定义符号出现。其二是定理2的除有构造类的集合变元之外，还允许出现其他的自由类变元，此处应注意对的正规性要求，不能有被约束的类变元，即如等等出现。事实上，正规命题函词只是在本原命题函词基础上，允许出现与本原命题函词相等价的合式公式中的定义符号，因此若出现被约束的类变元，这就不是本原命题函词了。

如上关于类的一般存在性定理可视为关于概括原则的形式化，但是上述定理2只承认任何正规命题函词可以构造类，而被构造出来的类未必是集合，而概括原则却认为任何Cantor意义下的造集谓词均可构造集合。上述定理2只承认可构造类，而有些真类不是集合，如一切集合之总体E，一切非本身分子集的总体等等可以是NBG中的真类，但不是集合，并由此而给出种种逻辑数学悖论的解释方法2。

正规概念正规概念(normal concept)是GB系统中的一个基本概念，正规概念指存在本原命题函词，使

例如，因为：

1.；

2.；

3.，

所以，等概念都是正规概念，注意上述三个表达式的右边，或是本原命题函词，或是仅含正规概念的合式公式，因而得以化归为本原命题函词1。

正规运算正规运算(normal operation)是GB系统中的一种运算，正规运算是指，存在一个本原命题函词φ，能使

成立的运算。例如，因为：

1.；

2.

3.，

所以，类的补运算一、交运算∩、定义域D等都是正规运算。此外，应注意上述式子中右边出现为正规概念，故可化归为本原命题函词1。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学