[科普中国]-命题演算分离规则

命题演算分离规则(modus ponens in a propositional calculus)是一种推演规则，指在命题演算和谓词演算形式的公理系统中广泛使用的推演规则，此规则的符号表示为α，α→β，⟝β，即从α，α→β可推演出β。此规则的逻辑意义是如果一个蕴涵式及其前件均为逻辑真的，则它的后件也是逻辑真的。分离规则保持了永真性，即如果α，α→β是永真的，则β也是永真的1。

分离规则分离规则是命题演算或谓词演算的公理系统的一个变形规则， 其具体内容是：若是可推出的，并且A也是可推出的，则B也是可推出的。若用“"表示“可推出的”，可表述为： 若并且，则。这里的A、 B是表示任一合式公式的元语言符号； “⊢”表示紧跟其后的公式为本系统所肯定，即为本系统的定理。即是说，如果A→B 和A都是系统中的定理，则B也是系统中的定理。例如，在命题演算中， 由和， 可得。 在谓词演算中， 由和，可得。根据分离规则进行的推演，类似于普通逻辑中充分条件假言推理的肯定前件式。

这条规则可用图式表示为：

这条规则实质上就是承认前件则必须承认后件的充分条件假言推理2。

命题演算公理系统的变形规则命题演算公理系统的变形规则是命题演算公理系统的一个组成部分，由一个或两个公式转换为另一个公式，即由一个或两个公式推导出另一个公式的规则。 以具体公理为出发点的命题演算的公理系统，一般以代入规则和 分离规则为其变形规则。以公理图式为出发点的命题演算的公理系统，可仅以分离规则为其变形规则2。

命题演算的代入规则命题演算的代入规则命题是演算公理系统的一个变形规则，可表述为： 如果⊢A， 则⊢ Aπ/B。这里的A、B是表示任一 合式公式的元语言符号; π是表 示任一命题变元的元语言符号；“⊢”表示紧跟其后的公式为 本系统所肯定，即为本系统的定 理; Aπ/B表示将公式A中出现的 某命题变元π处处代以公式B而 得到的公式。即是说，如果一公 式A是本系统的定理，那么将A 中的某命题变元π处处换以某公 式B而得到的公式也是本系统的 定理。例如，将公式p→(p∨q) 中的命题变元p处处代以⌝p而 得到公式 ⌝p→(⌝p∨q)，由⊢p→(p∨q)，可得⊢⌝ p→(⌝p∨q)。命题演算的 代入规则只允许把某命题变元代 以某公式，不允许把不是命题变 元的某公式代以另一公式; 如果 某命题变元在一公式中多次出 现，则对之进行的替代必须在其 出现的每一处进行，并且处处换以同样的公式2。

关于分离规则的讨论虽说分离规则对推理本身而言已足够，但为了推导方便起见，将从分离规则出发，引入一些导出规则3。

假设已证明了定理，编号为(a)，又证明了定理，编号为(b)，由此可得，编号为(c)，记为分。可以看作对(a)和(b)实施分离规则的结果。换个角度来说，我们也可将看作对“(b)”实施“分(a)”规则的结果，即

分(a)规则： .

也就是说，每给一条定理(a)：，我们就有一条相应的分(a)规则。即由(a)的前件可得出(a)的后件。

同理，假设我们证明了一条定理，编号为(a)，又有定理(b)：和定理(c)：，由它们利用分离规则可得。其推理过程如下：

分(a)(b)=(d) ，

分(d)(c)=(e) .

将(d)式代人得

分分(a)(b)(c)=(e).

这里我们既可以把看作两次实施分离规则的结果，第一次是对(a)和(b)实施分离规则，第二次是对(d)和(c)实施分离规则，但也可将其看作对(b)和(c)实施“分分(a)”规则的结果，即

分分(a)规则：.

故由(a)的两个前件，可以得出(a)的后件。

依次类推，如果有定理(a)：，我们就有如下规则：

分(a)规则：

分分(a)规则：

分分分(a)规则：

直言三段论直言三段论是由直言命题所组成的一种推理形式，简称三段论。传统逻辑的三段论演绎体系是由亚里士多德创立的，在中世纪得以完善，现代的数理逻辑对三段论也作过专门的研究。

三段论的结构一个直言三段论由三个直言命题所组成，其中两个为前提，一个为结论。三个直言命题包含三个不相同的词项，其中只在两个前提中出现而不在结论中出现的词项称为中项，用字母“M”表示；在结论中作为主词的词项称为小项，用字母“S”表示；在结论中作为宾词的词项称为大项，用字母“P”表示。两个前提中包含大项的前提称为大前提，包含小项的前提称为小前提。在排列顺序上，通常大前提在前，其后是小前提，最后为结论。但这种顺序不是绝对的。

三段论的公理又称曲全公理。直言三段论推理的依据。内容为：凡对一类事物有所肯定，则对该类事物中的每一个对象也有所肯定；凡对一类事物有所否定，则对该类事物中的每一个对象也有所否定。

三段论的规则要保证直言三优论推理的有效性，就必须遵守一定的规则。三段论的规则共二类四条。第一类是关于词项的规则：(一)在前提中，中项至少要周延一次；(二)词项只有在前提中周延，才可在结论中周延。第二类是关于质的规则：(一)至少有一个前提必须是肯定的；(二)如果有一个前提是否定的，则结论必须是否定的。以这四条基本规则也可以证明一些从属的规则，例如，两个特称的前提推不出结论；如果前提中有一个是特称的，则结论必须是特称的；如果结论是肯定的，则两个前提必须是肯定的；如果结论是全称的，则两个前提必须是全称的；如果结论是否定的，则两个前提中必须有一个是否定的。

三段论的格直言三段论中由于中项在前提中的位置不同而构成的不同形式。三段论有四个格。第一格，中项是大前提的主词，小前提的宾词。第二格，中项在大小前提中都是宾词。第三格，中项在大小前提中都是主词。第四格，中项是大前提的宾词，小前提的主词。四个格的结构如下图：

根据三段论总的规则，结合各个格具体形式，可以引申出每格的具体规则。第一格：(一)大前提须是全称的；(二)小前提须是肯定的。第二格：(一)两个前提中须有一个是否定的；(二)大前提须是全称的。第三格：(一)小前提须是肯定的；(二)结论须是特称的。第四格：(一)如果大前提是肯定的，则小前提必须是全称的；(二)如果小前提是肯定的，则结论必须是特称的；(三)如果前提中有一个是否定的，则大前提必须是全称的。

三段论的式直言三段论的大前提、小前提和结论都可能由A、E、I、O中任一个命题充当，共有64种可能的组合；再考虑三段论有四个格，就有256种可能的组合每一种组合称为一个式。在256个式中，符合三段论规则的叫有效式，违反三段论规则的叫无效式。三段论的有效式共24个，分别如下：

第一格：AAA，EAE，AII，EIO，(AAI)，(EAO)；

第二格：AEE，EAE，EIO，AOO，(AEO)，(EAO)；

第三格：AAI，AII，EAO，EIO，IAI，OAO；

第四格：AAI，AEE，EAO，EIO，IAI，(AEO)。

上例各式中19个不带括号的叫强式，5个带括号的叫弱式。弱式本可以得出全称命题为结论，但只以特称命题为结论。中世纪经院逻辑为了便于记忆，分别给这19个强式以特殊的名称。并编成“格式歌诀”。例如，Barbara，Celarent分别表示第一格的AAA式和EAE式。除了这24个有效式外，其余的232个式是无效式。

三段论的化归在传统逻辑中，直言三段论是一个近似完整的公理体系。其中，第一格的AAA式和EAE式起着分理的作用，其他17个强式的有效性须通过这两个式加以证明。证明的方法是用有效的逻辑方法把这17个式化归(又叫还原)为第一格的AAA式和EAE式。化归方法有两种。一种是直接化归，将前提或结论换位，或将两前提对调，就可把其他格化归为第一格。例如，第三格的IAI式具有下面的形式：

MIP

MAS/SIP

把它的大前提换位，再把大小前提对调，最后把结论换位，即成为：

MAS

PIM/PIS

这就是第一格的形式。另一种是间接化归，使用归谬法，把否定了的结论与一个否定了的前提对调，从而化归为第一格。例如，第二格的AOO式具有下面的形式：

PAM

SOM/SOP

把结论SOP否定，得SAP；再把前提中的SOM否定，得SAM;然后把它们对调、即成为

PAM

SAP/SAM

这就是第一格的AAA式，所以使用这种方法，是因为前提中含有0命题，而0命题是不能换位的。

三段论的现代研究成果 用谓词逻辑的符号来表示三段论的推理式，则三段论的有效式都可从谓词逻辑系统中推出，其中9个从两个全称前提得出特称结论的式，须将主词存在这一传统逻辑隐含的前提揭示出来。这表明三段论推理只是谓词逻辑的一部分。卢卡西维茨(1878—1965)用数理逻辑为工具，对三段论体系作了专门研究。他用a、b、c等表示项词，用△，I代表算子，采用前置号的方法，Aab表示所有a是b，Iab表示有的a是b。将Eab(所有a不是b)定义为Iab的否定，Oab(有的a不是b)定义为Aab的否定。用下面4条公理：

(一)Aaa

(二)Iaa

(三)Abc∧Aab→Aac

(四)Abc∧Iba→IbC

其中第三条公理是三段论第一格的AAA式，第四条公理是第三格的AII式。再借助代入规则、分离规则以及命题演算的规律，就可推出直言命题的换位规律和所有的三段论的有效式。这个完全形式化的三段论公理系统的建立使人们对传统逻辑的三段论体系有了新的认识。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学