[科普中国]-费曼传播子-

在粒子物理学中，量子电动力学（英语：Quantum Electrodynamics，简称QED）是电动力学的相对论性量子场论。

狄拉克方程与克莱因-戈尔登方程的解，前者描述的是电子概率幅的变化，而后者描述的则是光子。这两个量称为费曼传播子。

量子电动力学在粒子物理学中，量子电动力学（英语：Quantum Electrodynamics，简称QED）是电动力学的相对论性量子场论。它在本质上描述了光与物质间的相互作用，而且它还是第一套同时完全符合量子力学及狭义相对论的理论。量子电动力学在数学上描述了所有由带电荷粒子经交换光子产生的相互作用所引起的现象，同时亦代表了经典电动力学所对应的量子理论，为物质与光的相互作用提供了完整的科学论述。

用术语来说，量子电动力学就是电磁量子真空态的摄动理论。它的其中一个创始人，理查德·费曼把它誉为“物理学的瑰宝”("the jewel of physics")，原因是它能为相关的物理量提供极度精确的预测值，例如电子的异常磁矩及氢原子能阶的兰姆位移。1

费曼的量子电动力学观简介费曼在临终前的几年，为了未受过科学训练的群众，主讲了一系列有关量子电动力学的讲座。这些讲座被抄录下来，并结集成书，于1985年出版，书名为《QED：光和物质的奇异性》，该书没有使用数学来阐明量子电动力学，是此领域重要的科学普及著作。其观点如下。

费曼对量子电动力学的说明中，有一项关键，那就是三个基本作用：

一光子从一时间地点，移动到另一时间地点

一电子从一时间地点，移动到另一时间地点

一电子在某一时间地点，发射或吸收一光子

这些作用可以用图像表示，也就是费曼图的三种基本元素：波浪线代表光子，直线代表电子，两直线与一波浪线的交汇处代表电子发射或吸收光子的顶点。见右图。

重点是，不要过度诠释这些图。不要从这些图中引申出粒子是如何从一点移动到另一点的。这些图并没有代表着粒子会以直线或曲线移动。它们也不代表粒子会以固定速度行进。按惯例使用波浪线代表光子的这件事，并不意味着认定光子比电子更像波。这些图只是单纯代表上述作用的符号：光子和电子确实会以某种方式从一点移动到另一点，而电子也确实会以某种方式发射及吸收光子。实际上人们尚未能这些事是如何发生的，但是理论会计算出这些事发生的概率。

费曼除了介绍了这些作用的图像表示之外，还为一个数量提供了另一种表示方式，这个数量叫概率幅。概率幅的平方就是概率。假设一光子由一时间空间——标记为A——移动到另一时间空间——标记为B——那么费曼就会用来表示光子概率幅。另一个相近的量，电子从C移动到D的概率幅，则会被写成。而发射或吸收光子的概率幅，费曼把它叫。这个量与测量出的电荷有关，但并不一样。

量子电动力学是基于一个假设的，就是假设所有多个电子与光子间的复杂相互作用，都能够以适当地组合上述三种构成要素来代表，然后以概率幅计算出这些复杂相互作用的概率。原来只需要假设前面提到的概率幅（、和），其平方即为日常常见的概率，那么就能简明地解释量子电动力学的基本点子（费曼的书的简化版）。之后，上述这一点会被修正，引入对应的量子数学，这样就可遵循费曼的方式。

下文所用的概率幅有着以下的基本规则：

若一事件能以多种不同的方式发生，那么其概率幅为各发生方式概率幅的和；

若一过程中包括多种独立的子过程，则其概率幅为各子过程概率幅的积。

基本构成假设开始时在某时间和空间处（这时间和空间的标记为A）有一电子，在另一时间和空间处（标记为B）有一光子。从物理学的观点，一条典型的问题会问“在C（另一时间和空间）处出现电子，而在D（又另一时间和空间）处出现光子的概率是多少？”要做到这一点，最简单的过程就是让电子从A移动到C（一种基本作用），让光子从B移动到D（另一种基本作用）。已知两个子过程的概率幅—— 与 ——从上述规则二可知，要得两者同时发生的概率，需将它们相乘。这样做能得到一个对整个过程概率幅的简单估计，将它平方后可得发生的概率。

但是还有其他可以得出相同终点的其他过程。电子可以在时间和空间E处把光子吸收掉，然后移动至F处时发射出另一光子，最终电子移动到C处时被探测到，而新的光子则移动到D处。这个复杂过程的概率幅还是可以经由各分作用的概率幅得知：当中共有三个电子作用、两个光子作用及两个顶点——其中一个发射，一个吸收。将各个概率幅相乘，可得任何已定的E及F处的总概率幅。然后按规则一，将所有不同E及F处的总概率幅相加起来（实际上这加法并不基本，需要使用积分法）。但是还有另一种可能性，就是电子首先移动到G处，发射出前往D处的光子，而电子则继续移动到H处，并在该处吸收掉开始时的光子，最终移动到C处。同样地，可以计算出这些可能性（全部的G及H）的概率幅。然后，把这两种可能的概率幅，与开始时作的简单估计相加，就可能得出一个更好的概率幅估计值。顺便提一下，这种电子和光子的相互作用有一个名字，叫康普顿散射。

中间过程的数量为无限，因为过程中能吸收及/或发射更多更多的光子。每一个可能性就有一张费曼图。这意味着要计算出最终的概率幅，会是一项相当复杂的计算。然而，在量子电动力学中，愈复杂的费曼图，对最终结果的贡献也就愈小，因此要为原问题的答案计算出所需的准确度，只是时间与精力的问题。这就是解决量子电动力学的基本手法。要计算出任何光子与电子间的相互作用过程，首先用费曼图列出所有可能的作用方式，而这些方式都是用那三种基本元素所组合而成的。在计算每一个图的概率幅时，都要用到一些固定的规则。

当转换成量子描述的时候，物理的基本框架依然不变，但是有些概念需要改变。其中一种就是，认为粒子的移动点是会受到一些限制的，就像日常生活一样，但是在完整的量子电动力学下，情况并不是这样的。在A处的电子或在B处的光子，在以基本作用移动时，是有可能到达宇宙任何时间点或空间点的。这包括需要超越光速才能到达的地方，及之前的时间点。（逆时间移动的电子可被视为顺时间移动正电子。）

概率幅量子力学对概率的计算方式引入了一项重大的改变。概率仍然是以实数表示，如同日常生活中常用的概率，然而量子力学的概率是由概率幅计算。而概率幅是复数。

费曼为了避免读者接触到复数的数学，使用了一种简单但准确的代表，就是用一张纸上或一块屏幕上的箭头代表复数。（请千万不要把这些箭头与费曼图的箭头混淆，后者实际上代表着三维空间与一维时间在简化后所得的二维空间关系）这些幅箭头对描述量子理论的世界非常重要。对于为什么需要这些箭头，还没有任何令人满意的理由。但由于它们很实用，所以也只它们是所有量子现象描述中的重要组成部分。它们与日常熟知的概率间有一条简单的规则，就是一事件的发生概率是其辐箭头长度的平方。因此，若某过程含有两个概率幅v及w，则该过程的发生概率为

或

至于要使用加号还是乘号，规则还是与上文提及的一样。在你以为要加或乘概率的地方，此时要加或乘的却是概率幅，是复数。

在复数理论中，加法和乘法是为人所熟知的运算，可用左图表示。加法的方法如下。把第二个箭头的起端接到第一个箭头末端，那么其和就是第三个箭头，由第一个箭头的起端指向第二个箭头的末端。两个箭头的积，就是一个长度为该两个箭头长度积的箭头。把两箭头相对于一参考方向的转动角度加起来，可得积箭头的方向，也就是积箭头相对于该参考方向的转动角度。

把概率换成概率幅的这一转变，把数学变得更复杂了，但是基本手法仍然不变。但只是那个转变仍不是很足够，因为忽略了电子及光子都可以被极化这一点，也就是说必须考虑它们在时间和空间中的方向。因此实际上由16个复数（即概率辐箭头）组成。物理量{\displaystyle j}也有轻微的改变，在某些极化情况下需要旋转若干次的90°，而这点只需出现在详细的计算记录中。

与电子可被极化这一点相关的，还有另一样必须的细节，就是电子是一种费米子，因此遵从费米-狄拉克统计。基本规则就是，若某复杂过程中有超过一个电子时，在计算其概率幅时，会包括（这通常是必须的）互补的费曼图，即图中的两个电子事件被交换了，这样所得的概率幅与交换前的值一样，但就会成了负值。最简单的例子，就是以A、B作起点，C、D作终点的两个电子。那么概率幅则为两个过程概率幅的“差”，即

但从日常的概率中，这个情况时一般是会用和的。

传播子最后，必须计算出P(A→B)和E(C→D)，这两个量分别对应光子和电子的概率幅。它们实际上是狄拉克方程与克莱因-戈尔登方程的解，其中前者描述的是电子概率幅的变化，而后者描述的则是光子。这两个量称为费曼传播子。在一般文献中的标记翻译如下：

其中类似的简写符号代表的是，在点A的时间和三维空间位置的四个实数。

质量重整化在量子电动力学的发展史上，有一个难题使研究进度停滞了二十年：虽然在开始时假设只有三种基本的“简单”作用，但游戏规则上说，如果要计算一电子从A到B的概率幅，就必须考虑全部可能的方式：即所有起点为A终点为B的费曼图。因此，电子可以移动到C，然后发射一光子，之后在移动到B之前在D再吸收之前的光子。又或是电子重复上述行动两次，或更多的次数。总而言之，这是一个类似分形的情况，若仔细去看一条线时，看见它分解成一系列“简单”的线，而这些线在细看之下，也会分解成一系列“简单”的线，一直下去，永无止境。这是一个很难应付的情况。如果加入这些细节只是稍为带来改变的话，那就还可以，但是后来发现了简单的修正，并不能解决上述导致无限概率幅的情况，因此结果是灾难性的。最后这个难题用一种叫重整化的技巧“解决”。不过，费曼本人对此并不高兴，把它叫做“一套没头没脑的程序”。

结论在以上的框架下，物理学家当时就能够高度准确地计算出电子的一些属性，例如异常磁矩。然而，就像费曼所指出的那样，这套理论完全解释不了为什么电子会有它们现有的这样一个质量。费曼这样表示，“没有理论能够充分地解释这些数。我们所有的理论都用到这些数，但我们不明白这些数──它们是什么，又或是它们从哪里来的。从一个基础的视点出发，我相信这是一个有趣且须认真对待的难题。”2

数列发散弗里曼·戴森利用一则论述证明在量子电动力学里摄动数列的收敛半径是零。其基本的论述如下：假如耦合常数为负，库仑力常数是负的，这等效于电磁作用力被反转。此状况下同电荷会相吸，异电荷会相斥，使得真空不稳定而自动衰变到一堆电子与正子，且电子与正子会自动分离于宇宙的不同角落。由于在负耦合常数下有此理论有问题，无论在耦合常数为零的点圈选多小的一个范围，都会包含这些有问题的负耦合常数，因此数列的收敛半径是零。量子电动力学的摄动数列不会收敛，只会是渐进级数。当计算更多项时，并不会改善其结果。这可以视为是摄动理论的问题，需要一个新的理论来描述，或是直接计算而不管它。3