[科普中国]-完全平方公式

完全平方公式即**(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²**。1

定义两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。

（a+b）²=a²﹢2ab+b²

两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。

﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。

学习方法公式特征（重点）

学会用文字概述公式的含义:

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式2。

这两个公式的结构特征：

左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；

左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍**（注：这里说项时未包括其符号在内）.**

公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．

公式口诀首平方，尾平方，首尾相乘放中间。

或首平方，尾平方，两数二倍在中央。

也可以是：首平方，尾平方，积的二倍放中央。

同号加、异号减，负号添在异号前。（可以背下来）

即

（注意：后面一定是加号）

公式变形变形的方法**（一）、变符号：**

例1：运用完全平方公式计算：

（1）

（2）

分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。

解答：

(1)原式=

(2)原式=

（二）、变项数：

例2：计算：

分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，(3a+2b+c)2****可先变形为，直接套用公式计算。

解答：原式=

（三）、变结构

例3：运用公式计算：

(1)

(2)

(3)

分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了。

解答：

（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

应用例4：计算：

（1）

（2）

分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。

解答：

（1）原式=

（2）原式=

公式的变形：熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。

例5：已知实数a、b满足(a+b)2=10，ab=1。

求下列各式的值：

（1）；

（2）

分析：此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。

解答：

（1）原式=

（2）原式=

注意事项左边是一个二项式的完全平方。

右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。

不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

不要漏下一次项。

切勿混淆公式。

运算结果中符号不要错误。

变式应用难，不易于于掌握。

最重要的是做题小心谨慎。3

本词条内容贡献者为:

杨磊 - 副教授 - 北京大学数学学院