[科普中国]-方差计算公式

方差的概念与计算公式，例如 两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50，平均值E(X)=72；Y：73， 70，75，72，70 平均值E(Y)=72。平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为E(X)：直接计算公式分离散型和连续型。推导另一种计算公式得到：“方差等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数”。其中，分别为离散型和连续型计算公式1。 称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

方差的定义设一组数据x1,x2,x3……xn中，各组数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)，(x2-)……(xn-)，那么我们用他们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。为了简便（其中x为该组数据的平均值）。

总之，方差越小就越稳定

性质方差的性质

1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；

2．（常数平方提取）；2

证：

特别地 D(-X) = D(X), D(-2X ) = 4D(X)（方差无负值）

3．若X 、Y 相互独立，则证：记则

前面两项恰为 D(X)和D(Y)，第三项展开后为

当X、Y 相互独立时，

故第三项为零。

特别地

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

平均数：（n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值）

方差公式：

标准方差公式(1)：

标准方差公式(2)：

其他相关常用分布的方差

1．两点分布

2．二项分布 X ~ B ( n, p )

引入随机变量Xi （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布）

3．泊松分布（推导略）

4．均匀分布 另一计算过程为

5．指数分布（推导略）

6．正态分布（推导略）

7.t分布：其中X~T（n），E（X）=0；

8.F分布：其中X~F（m,n）,

正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的3。

本词条内容贡献者为:

李健 - 讲师 - 重庆邮电大学