[科普中国]-间接平差

定义

以观测方程作为函数模型的平差方法，称为间接平差法。如图1所示边角网，有5个观测值，必要观测数t=2。如果选择P点坐标作为2个独立参数，则可以列出所有观测方程。

例如，S1边和角度β1的观测方程为

实际上，如果在这些方程中，将观测值的期望值用观测值本身来代替的话，这些方程之间将产生矛盾。平差的目的就是合理地消除这些矛盾。1

设在测量系统中有n个观测值L，又选择了t个独立参数，观测方程的一般形式可表示为

线性化形式为

上式可写成

如果将真值△和用估值V和代替，则有

上式称为误差方程。间接平差法的随机模型为已知观测值的方差及相关信息。

原理间接平差法可以列出n个如下平差值线性方程。

设

则平差值方差可以写成矩阵形式为

设

即参数平差值由近似值X0和改正数构成，则矩阵形式可变为

参数的解算应满足条件。问题变为求极值问题，将对求导，并令其为零得

转置得

上式与参数平差值的矩阵形式共同组成间接平差的基础方程。基础方程共有（n+t）个，方程中的未知量个数为n+t，且基础方程中的系数阵均为满秩阵，因此，可以由基础方程得到改正数向量V和未知参数向量的唯一解。

求解基础方程得

设，，则上式可简写为

或写为

综合以上公式，可得到改正数向量V的解，从而得到观测值及参数的平差值为

过程与步骤（1）在测量系统中，选择t个独立参数，其个数应与必要观测数相同。参数的选取具有较大的自由度，如可以使得所选参数为有用值，且使得建立误差方程较为容易；

（2）列出误差方程，并将其线性化；

（3）根据实际应用情况，确定观测值的权；

（4）由误差方程的系数阵及常数项，组成法方程的系数阵及常数项阵；

（6）由误差方程计算观测值改正数向量V，并求出观测值的平差值。