[科普中国]-拓扑空间

拓扑空间是一个集合 X和其上定义的拓扑结构组成的二元组 。X的元素 x通常称为拓扑空间  的点。而拓扑结构一词涵盖了开集，闭集，邻域，开核，闭包，导集，滤子等若干概念。从这些概念出发，可以给拓扑空间 作出若干种等价的定义。2

拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。

设 是一个集合， 是一些 的子集构成的族，则( ， )被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：

1. 空集和 属于 ，

2. 中任意多个元素的并仍属于 ，

3. 中有限个元素的交仍属于 。

这时， 中的元素成为点（point）， 中的元素成为开集（open set）。我们也称 是 上的一个拓扑。

实数集R构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。

更一般的，n维欧几里得空间R构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。

任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。

任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。

除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a,b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。

流形都是一个拓扑空间。

每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。

每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。

扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交换环谱之上或者某个代数簇之上。对R或者C来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。

线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。

泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛。

有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。

可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。

如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a,b]生成，此处a和b是Γ的元素。

拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。3

对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。

商拓扑可以被如下地定义出来：若X是一个拓扑空间，Y是一个集合，如果f:X→Y是一个满射，那么Y获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类，从而给出拓扑空间X上的一个等价关系。

Vietoris拓扑

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

以下假设X为一个拓扑空间。

详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。

拓扑不可区分性4

X中两个点x，y称为拓扑不可区分的，当且仅当如下结论之一成立：

对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。

x的邻域系和y的邻域系相同。

，且 。

可分的

X称为可分的，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。

第一可数

X称为第一可数的，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。

第二可数

X称为第二可数的，当且仅当其拥有一个可数的基。

连通

X称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。

局部连通

X称为局部连通的，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。

完全不连通

X称为完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。

道路连通

X称为道路连通的，当且仅当其任意两点x和y，存在从x到y的道路p，也即，存在一个连续映射p:[0,1]→X，满足p（0）=x且p（1）=y。道路连通的空间总是连通的。

局部道路连通

X称为局部道路连通的，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。

单连通

X称为单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射{\displaystyle f:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow X}都与常数映射同伦。

可缩

X称为可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。

超连通

X称为超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。

极连通

X称为极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。

平庸的

X称为平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。

紧性

X称为紧的，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。

林德洛夫性质

X称为拥有林德洛夫性质，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。

仿紧

X称为仿紧的，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。

可数紧

X称为可数紧的，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。

列紧

X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。

伪紧

X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。

可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

对于任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群G乃是一个拓扑空间配上连续映射（群乘法）及（逆元），使之具备群结构。

同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。5

结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。

拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：

谱空间（spectral space）上的序结构。

特殊化预序：定义。常见于计算机科学。

主要有下面几条。

空间内任何两个不同的点都各有一个邻域不含另一点。

（T2分离公理) 空间内任何两个不同的点都各有邻域互不相交。

空间内每一点以及不含该点的任一闭集都各有邻域互不相交。

对于空间x 内每一点x及不含x的任一闭集B，存在连续映射ƒ∶x→[0,1]，使得ƒ(x)=0且对B内每一点y，ƒ(y)=1。

空间内任何两个不相交的闭集都各有邻域互不相交。

满足T1分离公理的空间叫T1空间。满足T2分离公理的空间叫T2空间或豪斯多夫空间。一个T1空间如果还满足正则分离公理或全正则分离公理或正规分离公理，则分别称为正则空间，全正则空间和正规空间。各空间之间的蕴含关系可用“崊”表示如下：正规空间崊全正则空间崊正则空间崊T2空间崊T1空间。度量空间以及下述的紧空间和仿紧空间都是正规空间。