[科普中国]-分部积分法

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它的主要原理是利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。1

公式推导

设 及 是两个关于 的函数，各自具有连续导数 及 ，则按照乘积函数求微分法则，则有1

或者

对其两边进行积分，且因 的原函数是 ，得

如果将 和 用微分形式写出，则亦可得出

上两式就表示出了分部积分法则。它把 的积分化为 的积分，也即分部积分的好处是，可将复杂的被积函数简化为另一较易求得的函数积分。

例如，要求 ，则依分部积分法则，令

如此

则按上述公式有

四种典型模式

一般地，从要求的积分式中将 凑成 是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取 ，因为一旦 确定，则公式中右边第二项 中的 也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取 则要依 的复杂程度决定，也就是说，选取的 一定要使 比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。2记忆模式口诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）三（角函数）指（数函数）。

模式一

通过对 求微分后， 中的 比 更加简洁，而 与 的类型相似或复杂程度相当。

例如，对于形如 的不定积分（其中 为 次多项式），由于对多项式求微分可以降次，且三角函数或指函数的积分则较容易求得，所以可以令 ，而将另一个函数看成 通过分部求得积分。2

例如 求

首先，

对该式第二项再按此模式进行分部积分，得

故原式

模式二

通过对 求微分使得它的类型与 的类型相同或相近，然后将它们作为一个统一的函数来处理。例如对形如 等的积分，总是令 ，则 则为一个 次的多项式，另一个函数（ 等）看成 。通过分部积分，很容易求出不定积分。2

例如，求

而该式第二项为

故原积分式

模式三

利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质，通过一次或二次分部积分后，使等式右端再次产生 ，只要它的系数不为1，就可以利用解方程的方法求出原积分 。2

例如，对于积分 和

按法则对他们进行分部积分得

这样，所求积分均由另一个积分所表示出来，将这两式相加和相减（即解方程）得到所求积分表达式

以及

这两个通用表达式就可以求出该类型的所有积分式，比如

模式四

对某些形如 的不定积分，利用分部积分可降低 的次数，求得递推公式，然后再次利用递推公式，求出 。1

例如，对于积分

当 时，

当 时，

而该式的第二项又可变换为3

将其带入上式，则得到

故

最后，得到统一的递推关系式

定积分

与不定积分的分部积分法一样，可得1

简写为

例如

示例

例1：

例24：

回代即可得到的值。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学