标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0(a,b,c,d∈R,且a≠0),其解法有:1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法;2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。
两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。用卡尔丹公式解题方便,相比之下,盛金公式虽然形式简单,但是整体较为冗长,不方便记忆,但是实际解题更为直观。
解法卡丹公式法的特殊情况一元三次方程都可化为x³+px+q=0。它的解是:
其中。
根与系数的关系为。
判别式为。当
时,有一个实根和两个复根;
时,有三个实根,当
时,有一个三重零根,
时,三个实根中有两个相等;
时,有三个不等实根。
三个根的三角函数表达式(仅当时)为
其中。
卡丹公式法的一般情况一般的一元三次方程可写成的形式。上式除以
,并设
,则可化为如下形式:
,其中
,
。
可用特殊情况的公式解出,则原方程的三个根为
。
三个根与系数的关系为
。
盛金公式法三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式,并建立了新判别法——盛金判别法。
1.盛金公式
一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)
重根判别式
总判别式Δ=B2-4AC。
当A=B=0时,
盛金公式1:
当Δ=B2-4AC>0时,
盛金公式2:
盛金公式2的三角式:
其中,
。
当Δ=B2-4AC=0时,
盛金公式3:
其中。
当Δ=B2-4AC0,-1