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[科普中国]-一元三次方程求根公式

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标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0(a,b,c,d∈R,且a≠0),其解法有:1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法;2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。

两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。用卡尔丹公式解题方便,相比之下,盛金公式虽然形式简单,但是整体较为冗长,不方便记忆,但是实际解题更为直观。

解法卡丹公式法的特殊情况一元三次方程都可化为x³+px+q=0。它的解是:

其中

根与系数的关系为

判别式为。当时,有一个实根和两个复根;时,有三个实根,当时,有一个三重零根,时,三个实根中有两个相等;时,有三个不等实根。

三个根的三角函数表达式(仅当时)为

其中

卡丹公式法的一般情况一般的一元三次方程可写成的形式。上式除以,并设,则可化为如下形式:

,其中

可用特殊情况的公式解出,则原方程的三个根为

三个根与系数的关系为

盛金公式法三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式,并建立了新判别法——盛金判别法。

1.盛金公式

一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)

重根判别式

总判别式Δ=B2-4AC。

A=B=0时,

盛金公式1:

Δ=B2-4AC>0时,

盛金公式2:

盛金公式2的三角式:

其中

Δ=B2-4AC=0时,

盛金公式3:

其中

Δ=B2-4AC0,-1