[科普中国]-复流形

在数学中，特别是在微分几何和代数几何中，复流形是具有复结构的微分流形，即它能被一族坐标邻域所覆盖，其中每个坐标邻域能与n维复线性空间中的一个开集同胚，从而使坐标区域中的点具有复坐标 (z1,…,zn)，而对两个坐标邻域的重叠部分中的点，其对应的两套复坐标之间的坐标变换是全纯的。称n为此复流形的复维数。一个n维复流形也是2n维的（实）微分流形。

简介单复变函数论中的全纯函数的反函数经常出现多值情形，因此定义域便从复平面扩产到黎曼曲面，使得在黎曼曲面上这个全纯函数的反函数单值化。无支点的黎曼曲面的推广，就是复流形。

定义如下：设 M 为具有可数基的仿紧拓扑空间，在 M 上有开覆盖 ，使得对每个开子集 ，存在 到 n 维复欧几里得空间 中开集上的同胚 。

因此对开子集 中每一点 p，存在局部坐标 。 称为标架， 称为坐标系。当 ，则开子集 中任一点 p 有两种坐标

由于 和 为同胚，于是有局部坐标 z 和 w 之间的一一对应关系 ：

这是 （ ）到 （ ）上的映射，如果 是全纯同构映射，则拓扑空间 M 称为 n 维复流形。

注意，n 维复流形是一类特殊的 2n 维实流形，即具有复结构 J 的 2n 维实流形。上面提到黎曼曲面是由全纯函数的反函数单值化产生的。而在多复变情形，从解析开拓的角度，可以看出复欧几里得空间中的域上的全纯函数，在作解析开拓后，会产生复流形。所以有些函数论问题，仅局限在 n 维复欧几里得空间 上考虑是不够的，必须扩产到复流形上讨论。这就是为什么在多复变函数论中，复流形的概念是不可缺少的。关于复流形的研究，紧复流形比一般情形要成熟些。1

历史作为一维的复流形的黎曼面的研究有着悠久的历史，而一般复流形的研究从20世纪40年代才开始。

现今，它已成为近代数学中十分重要的概念和课题。

举例黎曼球面考虑R3中的单位球面。它可以被球面分别去掉北极和南极所得到的两个坐标开集所覆盖。用关于北极的球极投影得到一个坐标映射，而关于南极的球极投影后再取共轭复数又得到另一个坐标映射。这样，单位球面也构成一维复流形，称为黎曼球面。

复射影空间对复射影空间CPn描述如下：设Cn+1是复n+1维的复线性空间，Cn+1\{0}是从Cn+1中去掉原点后所得到的空间。对于其中任意两个点z=(z0,...,zn)和w=(w0,...,wn),如果存在非零复数λ∈C\{0} 使z=λw，则称z和w等价，按照这个等价关系所得到的商空间记做CPn，它是一个n维的复流形。Cn+1中的点(z0,...,zn)所在的等价类，被看成是CPn中的点，记做(z0:...:zn)，称为齐次坐标。直观地说，CPn就是Cn+1中所有过原点的复直线（即二维实平面）的集合。

对CPn中的任一点p，设(z0(p):...:zn(p))是它的齐次坐标，那么{(z0,...,zn);|z0|2+...+|zn|2=1}是Cn+1中以原点为中心的单位球面S2n+1上的一点。我们知道，S2n+1的子集{(λz0,...,λzn);|z0|2+...+|zn|2=1,|λ|=1,λ∈C}是S2n+1上的一个大圆。给定p点，即点(z0(p):...:zn(p))，它所确定的S2n+1上点的全体恰好组成了一个大圆，因此CPn也可看成S2n+1中的大圆的全体。

当n=1时，CP1和黎曼球面S2是双全纯等价的。2

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学