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[科普中国]-Legendre多项式

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勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 |x| 勒让德多项式(Legendre polynomials)。1

定义数学上,勒让德函数指以下勒让德微分方程的解:

为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式(Sturm-Liouville form):

上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程(或相关的其他偏微分方程)时,问题便会归结为勒让德方程的求解。

勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 |x| 勒让德多项式(Legendre polynomials)。

勒让德多项式Pn(x)是n阶多项式,可用罗德里格公式表示为:

正交性勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 −1 ≤x≤ 1 关于L内积满足正交性,即:1

其中 δmn为克罗内克δ记号,当m=n时为1,否则为0。 事实上,推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1,x,x, ...}进行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因为如前所述,勒让德微分方程可化为标准的Sturm-Liouville问题:

其中本征值 λ 对应于原方程中的n(n+1)。

其他性质奇偶性当阶数k为偶数时, 为偶函数;当阶数k为奇数时, 为奇函数,即:2

递推关系相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式:

另外,考虑微分后还有以下递推关系:

其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分中较为有用。

移位多项式移位勒让德多项式的正交区间定义在[0,1]上,即:

其显式表达式为:

相应的罗德里格公式为:

分数阶多项式

分数阶勒让德多项式通过将分数阶微分(定义参见分数微积分理论)和通过Γ函数定义的非整数阶乘代入罗德里格公式中来定义。

极限关系大Q勒让德多项式→勒让德多项式

令大q雅可比多项式中的c=0,即勒让德多项式

令连续q勒让德多项式q->1得勒让德多项式

小q勒让德多项式→勒让德多项式

本词条内容贡献者为:

王伟 - 副教授 - 上海交通大学