[科普中国]-分式线性变换

基本介绍

由分式线性函数

所给出的映射叫做分式线性变换，它有几个特殊形式：

（1）平移变换这是整个平面的一个平移，每一个点都移动一个向量b。

（2）旋转变换（是实数），这是以原点为中心的一个旋转，旋转角为。

（3）相似变换这是一个以原点为中心，伸张系数为r的相似变换。

（4）倒数变换它又可以分解为: 及前者是一个关于单位圆周的反演变换，后者是一个关于实轴的反射变换。

对任意分式线性变换，可分为两种情况;

1.若c=0，它是一个整线性变换可由（1）一（3）三种简单变换叠合而成。

2.若把它改写成，可由（1）—（4）四种简单变换叠合而成1。

分式线性变换的性质定理1任一个分式线性函数(1)，给出一个从闭z平面到闭w平面的双方单值的保角变换(这里我们定义两条曲线交在无穷远处的角，等于它们在倒数变换下的象曲线在原点的交角)1。

定理2**(保圆性)**分式线性变换把圆周变成圆周。

这里及下面几个定理中，所说到的圆周，都包括直线在内，也就是说，把直线看成是通过无穷远点的圆周。这样，一个圆周经过分式线性变换后，究竟是变成直线还是普通圆周，只要看它上面有没有无穷远点就可以确定。

定理3**(保对称点不变性)**分式线性变换把对某一圆周为对称的点，变为对这个圆周的象对称的点。

定理4任给z平面上三个不同的点和w平面上的三个点则存在唯一个分式线性变换，把分别变为而且这个分式线性变换可表为

这里。

如果或中的某一个是只需在(2)式中把含有这个数的因子改为1即可，例如，当时，(2)式成为

即

由保圆性可知，分式线性变换(1)，把由三点所确定的圆周C，变成由三点所确定的圆周C'，圆周C和C' 分别将z平免和w平面分成两个区域及和及，而且变换(1)把由经走向时，位在左边的区域，变成在w平面上，由经走向时，位在左边的区域。

利用分式线性变换解题时，下述事实是经常有用的: 如果一个分式线性变换满足条件则这个变换可以表为

(k为任意复常数).

特别地，若则。1