[科普中国]-距离空间

定义

设X是非空集合，对于X中任意的两个元素x与y，按某一法则都对应唯一的实数d(x，y)，而且满足下述三条公理：

(1)(非负性)d(x，y)≥0，[d(x，y)=0，当且仅当x=y]；

(2)(对称性)d(x，y)=d(y，x)；

(3)(三角不等式)对于任意的x，y，z∈X，恒有d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)。

则称d(x，y)为x与y的距离，并称X是以d为距离的距离空间，记作(X，d)。通常，在距离已被定义的情况下，(X，d)可以简单地将X中的元素称为X中的点1。

距离空间中的点集这里用抽象的距离 代替R中的绝对值 ，用开球 代替R中的对称开区间 。

设(X，d)为距离空间，则可依次定义概念1：

开球设 称X中的点集

是以 为中心，以 为半径的开球；又称为 的 邻域。

闭球设 称

是以 为中心，以 为半径的闭球。

球面设 称

是以 点为中心，以 为半径的球面。

内点设 若存在 的 邻域 则称点 为E的内点，E的内点全体称为E的内部记为E。

开集设 若G中每一点都是其内点，则称G为开集。

闭集设 若 为开集，则称F为闭集。

邻域包含 的任一开集均称为 的一个邻域，特别称 是 的球形邻域，有时也简称邻域。

聚点设 若 的每一个邻域中均含有E的无穷多个点，则称 为E的聚点或极限点，E的聚点可以在E中也可不在E中， 为E的聚点可等价定义为： 的每个邻域中含有E的点x，但 。

导集E的聚点的全体称为E的导集，记为。

闭包设 的闭包 定义为 中的点又称为E的接触点。可以知道 的充要条件是 因此E的闭包 又可定义为与E的距离为0的一切点的全体，E的聚点(极限点)必是E的接触点，反之则不然。

孤立点、边界、有界集、直径若用 不含在E中的E的聚点集合，则有

(其中 ).

设 若 的某一邻域中没有除 以外的E的其他点，则称 为E的孤立点。称 为E的边界；设 若则称E为有界集；称 为E的直径，如果 的直径 ，则E是有界集1。