[科普中国]-优弧

定义弧的定义

圆上任意两点间的部分叫做弧。用符号” ”表示弧。例如，图中以 为端点的弧．记作 ，读作弧 。

设半径为 的圆中， °的圆心角所对的弧长为 ，则弧长公式为： .

优弧的定义大于半圆的弧叫做优弧。例如上图中的 就是优弧．读作弧 。1

劣弧小于半圆的弧叫做劣弧。上图中的 就是劣弧，读作弧 。

没有注明时，所说的弧一般是指劣弧。1

半圆在一个圆中，任意一条直径的两个端点，把圆分成两条相等的弧。其中每一条弧叫做半圆。1

弧的相关性质圆内、圆心角、弧、弦、弦心距的性质(1)在同圆或等圆内，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等；所对的弦相等；所对弦上的弦心距相等(逆命题也成立)。

(2)在同圆或等圆内，如果圆心角不等，那么圆心角大的所对的弧大；所对的弦大；所对弦上的弦心距小(逆命题也成立)。2

圆内、直径、弦、弧的性质(1)在圆内，如果直径垂直弦，那么这直径平分这弦；平分这弦所对的弦。

(2)在圆内，如果直径平分弦(这弦本身不是直径)，那么这直径垂直这弦；并平分这弦所对的弧。

(3)在圆内，如果直径平分弧，那么这直径垂直平分这弧所对的弦。

(4)在圆内，弦的垂直平分线通过圆心。

(5)在圆内，二平行弦所夹的弧相等。2

相关命题举例命题1 在相等圆中，等弦截出相等的弧，优弧等于优弧，劣弧等于劣弧。

设：圆ABC与圆DEF相等，弦AB等于弦DE，切分的优弧为ACB和DFE，劣弧为AGB和DHE。

求证:优弧ACB等于优弧DFE，劣弧AGB等于劣弧DHE。

**证明：**令:K，L分别为两圆的圆心，连接AK、KB、DL和LE 。因为圆相等，那么半径相等，所以:AK、KB分别等于DL、LE，且第三边AB等于第三边DE。所以:∠AKB等于∠DLE 。又，因为当它们是圆心角时，它们所对的弧相等，所以:弧AGB等于弧DHE。

又:圆ABC也等于圆DEF。

所以:弧ACB也等于弧DFE。

所以:在相等圆中，等弦截出相等的弧，优弧等于优弧，劣弧等于劣弧。

命题2 在相等圆内，相等的圆周角或圆心角所对的弧相等。

设：ABC、DEF为相等圆．在其内作相等圆心角和圆周角．即圆心角∠BGC、∠EHF，圆周角∠BAC、∠EDF。

求证：圆周角∠BKC等于圆周角∠ELF。

证明： 令：连接BC、EF。

既然圆ABC等于圆DEF，那么半径相等。

所以：线段BG、GC就等于线段EH、HF．在G点的角等于在H点的角。所以：第三边BC等于第三边EF。

又因为在A点的角等于在D点的角，所以：弓形BAC相似于弓形EDF，它们立于相等线段上。

因为，在相等线段上的相似弓形彼此相等，所以，弓形BAC等于弓形EDF。

又因为，整圆ABC也等于整圆DEF，所以，余弧BKC等于余弧ELF。

所以：在相等圆内，相等的圆周角或圆心角所对的弧相等。3

更多关于弧的性质的详细证明可参考文后相关参考书籍。3