[科普中国]-频率响应函数

频率响应函数的概念

在系统传递函数 已经知道的情况下，若系统是稳定的，令 中 的实部为零，即令 代入 ，可以得到系统的频率响应函数 。对于定常线性系统，有

式中： 。

若在 时刻将输入信号接人定常线性系统，令 代入拉普拉斯变换中，实际上是将拉普拉斯变换变成傅里叶变换。又由于系统的初始条件为零，因此系统的频率响应函数 就成为输出 、输入 的傅里叶变换 之比，即

上式告诉我们，在测得输出 和输入 后，由其傅里叶变换 可求得频率响应函数 。

需要注意的是，频率响应函数是描述系统的简谐输入和其稳态输出的关系，在测量系统频率响应函数时，必须在系统响应达到稳态阶段时才能测量。

频率响应函数是复数，因此可以改写为

式中： ——系统的幅频特性；

—— 系统的相频特性；

—— 系统的实频特性；

—— 系统的虚频特性。

显然有

由上可见，系统的幅频特性 、相频特性 、实频特性 、虚频特性 都是输入频率 的实函数。2

频率响应函数的意义根据定常线性系统的频率保持性，系统在简谐信号 的激励下，所产生的稳态输出也是简谐信号） 。此时输入和输出虽为同频率的简谐信号，但两者的幅值并不一样，其幅值比 随频率 而变，是 的函数。相位差 也是频率 的函数。

可以证明，定常线性系统在简谐信号的激励下，其稳态输出信号和输入信号的幅值比就是该系统的幅频特性，即；稳态输出对输入的相位差就是该系统的相频特性，即。两者统称为系统的频率特性。因此，系统的频率特性就是系统在简谐信号激励下，其稳态输出对输入的幅值比、相位差随激励频率变化的特性。

尽管频率响应函数是对简谐激励而言的，但是任何信号都可分解成简谐信号的叠加。因而在任何复杂信号输入下，系统频率特性也是适用的。这时，幅频、相频特性分别表征系统对输入信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。

其实，用频率响应函数来描述系统的最大优点是它可以通过实验来求得。实验求得频率响应函数的原理，比较简单明了。可依次用不同频率的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值和相位差。这样对于某个，便有一组和，全部的和，便可表达系统的频率响应函数。

上述逐点改变简谐信号频率，测出频率响应函数的实验方法是一种基本的传统方法。显然这是十分繁琐费时的。近代随着计算机以及数字信号分析技术的飞速发展，可利用脉冲信号或随机噪声（如白噪声）信号作为系统的输入，运用快速傅里叶变换( FFT)技术，可很快得到频率响应函数。2

频率响应函数与传递函数传递函数是在复数域中来描述和考察系统的特性的，比在时域中用微分方程来描述和考察系统特性有许多优点。但是工程中的许多系统却极难建立其微分方程式和传递函数，而且传递函数的物理概念也很难理解。

频率响应函数是在频率域中描述和考察系统特性的。与传递函数相比较，频率响应函数的物理概念明确，也易通过实验来建立；利用它和传递函数的关系，由它极易求出传递函数。因此频率响应函数是实验研究系统的重要工具。2

频率响应函数的图形表示法幅频特性曲线和相频特性曲线以为自变量，以和为因变量画出的曲线曲线和曲线分别称为系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。它表示输出与输入的幅值比和相位差随频率的变化关系。

伯德图对自变量取对数作为横坐标，以和作纵坐标，画出的曲线，即作和曲线，两者分别称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线，总称为伯德图****(Bode图)。它把轴按对数进行了压缩，便于对较宽范围的信号进行研究，观察起来一目了然，绘制容易，使用方便。

奈魁斯特图曲线和分别称为系统的实频特性和虚频特性曲线。如果将的虚部和实部分别作为纵、横坐标，则曲线称为奈魁斯特图(Nyquist图)．它反映了频率变化过程中系统响应的变化。2