[科普中国]-分离常数法

概念

对于求分式型的函数，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法。分离常数法常用于求函数最值或值域等，在数列求和中也常用到，可参考例题理解。1

还有一种分离常数法的应用方式是在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），可参考“适用条件”中举的例子和例题6。2

适用情况举例（1）分离常数法适用于解析式为分式形式的函数，如求的值域，则可分离常数为，进而求值域，3当分式的分子和分母次数相同时，常可分离出一个常数来，称之分离常数法。4

（2）在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围，如：已知函数在区间（-1,1）上有唯一的零点，求a的取值范围。可转化为“关于x的方程在（-1，1）上有唯一的零点”，即“函数的图像有唯一公共点”。这道题就有一个常量a，一个变量x，这里就将常量a分离出来进而可以求。可参考例题6。2

分式型情况求分式函数的值域例1 求函数的值域。

解： 由已知有

由得

函数的值域为，

求分式函数的最值例2 设求函数的最小值。

解：

由已知有

当且仅当即时，等式成立，所以当x=1时，取得最小值9。

在函数奇偶性中的应用例3 设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m为多少？

解：

令易得为奇函数，其图像关于原点对称，所以最大值与最小值之和为零，所以M+m=2。

**变式：**若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为多少？（答案为2）

评注： 题目中出现最大值与最小值之和等问题，可转化为对称性问题解决，通过分离常数后出向奇函数，结合图像的对称性可以迅速解题。

用于函数图像的作图例4 方程的实根共有几个？

解： 本题可转化为求图像交点个数。将平方整理得由于所欲图像为x轴上方的一个半圆。又所以图像是由图像向右、向下平移一个单位后得到的，其对称中心为，易得两图像交点个数为1。

**评注：**形如函数都可以通过分离常数进行处理，将之转化为反比例函数，再通过平移或变换得到。有了图像就可以使很多数形结合的问题容易得到解决。

在数列中的应用例5 设求数列的前n项和Sn。

解：

评注： 通过对an分离常数后，出现典型的裂项求和。

常量与变量分离情况例6 设集合是单元素集，求实数a的取值范围。

这是某资料上的一道例题，给出的答案是．此答案也是错误的．若用分离常’数法求解就不易出错。

解： 题意即关于的方程组有唯一一组解，也即关于x的方程在（0,2）上有唯一解，得关于的方程组

有唯一解。

由图2得，或，即或这就是所求a的取值范围。