[科普中国]-交错群

基本性质

对 n > 1，群 An 是对称群 Sn 的交换子群，指数为 2，从而有n!/2 个元素。2它是符号群同态 sgn : Sn → {1, −1} 的核。

群 An 是阿贝尔群，当且仅当 n ≤ 3，单当且仅当 n = 3 或 n ≥ 5。注意 A3 事实上是 3 阶单群。A1 与 A2 是 1 阶群，一般不称为单的，而 A4 有一个非平凡正规子群从而不单。A5 是最小非阿贝尔单群，阶数为 60，也是最小不可解群。3

共轭类在对称群中，An的共轭类由有相同轮换型的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成，这里长为 1 的轮换包含在轮换型中，则对这样的轮换型恰有两个共轭类 （Scott 1987，§11.1, p299）。2

例如：

两个置换(123) 与 (132) 有相同的轮换型从而在 S3中共轭，但在 A3中不共轭。

置换 (123)(45678) 与其逆 (132)(48765) 有相同的轮换型所以在 S8中共轭，但在 A8中不共轭。

例子4 阶交错群是 A4= {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} 。

自同构群对称群和交错群的自同构

对n> 3，除了n= 6，An的自同构群就是 Sn的自同构群，其内自同构群为An外自同构群为Z2；外自同构来自用一个奇置换共轭。

对n= 1 与 2，自同构群平凡。对n= 3 自同构群是Z2，其内自同构群平凡外自同构群为Z2。

A6的外自同构群是克莱因四元群V=Z2×Z2，这也是S6的自同构群。A6另外的自同构将三轮换（比如 (123)）与 3型元素（比如 (123)(456)）交换。

特殊同构在小交错群与小李型群之间有一些同构。他们是

A4同构于 PSL2(3) 以及手征性四面体对称之对称群。

A5同构于 PSL2(4)，PSL2(5)，以及手征性二十面体对称之对称群。

A6同构于 PSL2(9) 与 PSp4(2)'。

A8同构于 PSL4(2)。

更显然有 A3同构于循环群Z3，以及 A1与 A2同构于平凡群（也是 SL1(q)=PSL1(q) 对任何q）。

子群A4是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群：给定一个有限群G和 |G| 的一个因子d，不一定存在G的一个d阶子群。群G=A4，阶为 12，没有 6 阶子群。有三个元素的子群（由三个对象的轮换旋转生成）再加上任何一个其它元素生成整个群。

群同调交错群的群同调体现了类似稳定同伦理论（stable homotopy theory）中的稳定性：对足够大的n是常值。

阿贝尔化第一同调群与阿贝尔化相同，因为An除去已经提到的例外是完全群（perfect group），从而有

for n=1,2 and

舒尔乘子当n等于 5 或大于等于 8 时，交错群 An的舒尔乘子（Schur multiplier）是 2 阶循环群；在 6 和 7 时有一个三重复盖，则舒尔乘子的阶数为 6。

对

对 与