[科普中国]-三线坐标

例子

内心有三线 1:1:1，这就是说，从三角形 ABC 的内心到边 BC、 CA、AB 的有向距离和实际距离有序三元组 (r, r, r) 成比例，这里 r 是三角形 ABC内切圆的半径。注意到记号 x:y:z 用比例冒号区分三线和实际有向距离。实际距离有序三元组 (kx, ky, kz)，能从比例 x : y : z 得到，1

利用面积关系不难算得

这里 a, b, c 分别是边长 BC、 CA、 AB， σ = ABC 的面积。（“逗号记法”应该避免使用。因为记号 (x, y, z) 意味着是一个有序三元组，不允许 (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) 之类运算；然而“比号记法”允许 x : y : z = 2x : 2y : 2z。）

设 A、B 和 C 不仅表示三角形的顶点，也是在相应顶点的角。一些熟知点的三线如下：

A = 1 : 0 : 0

B = 0 : 1 : 0

C = 0 : 0 : 1

内心 = 1 : 1 : 1

A-旁心 = −1 : 1 : 1

B-旁心 = 1 : −1 : 1

C-旁心 = 1 : 1 : −1

外心 = cos A : cos B : cos C

垂心 = sec A : sec B : sec C

九点圆圆心 = cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B)

重心 = bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 1/c = csc A : csc B : csc C

类似重心 = a : b : c = sin A : sin B : sin C

注意到，内心一般不是重心，重心有重心坐标 1:1:1（它们和实际有向面积 BGC、 CGA、AGB 成比例，这里 G = 重心）。

公式利用三线坐标可将许多代数方法运用于三角形几何。比如，三点1

P = p : q : r

U = u : v : w

X = x : y : z

是共线的，当且仅当行列式等于 0。这性质的对偶是三条直线

pα + qβ + rγ = 0

uα + vβ + wγ = 0

xα + yβ + zγ = 0

交于一点（若无穷远点，即平行）当且仅当 D = 0。

另外可算得三角形 PUX 的面积= KD，这里 K = abc/8σ，如果 PUX 和 ABC定向相同，定向相反则 K = - abc/8σ。

许多三次曲线用三线容易表示。比如，中枢自等共轭三次曲线 Z(U,P)，作为点 X 的轨迹使得 X 的 P-等共轭点位于直线 UX上，由行列式方程确定。

一些有名的三次曲线 Z(U,P)：

Thomson 三次曲线： Z(X(2),X(1))， 这里 X(2) =重心， X(1) =内心

Feuerbach 三次曲线：Z(X(5),X(1))，这里 X(5) =费尔巴哈点

Darboux 三次曲线： Z(X(20),X(1))，这里 X(20) =De Longchamps 点（De Longchamps point）

Neuberg 三次曲线： Z(X(30),X(1))，这里 X(30) =欧拉无穷远点

坐标变换一点具有三线α:β:γ，则重心坐标为aα:bβ:cγ，这里a,b,c是三角形三条边长。相反地，重心坐标为α:β:γ的点有三线α/a:β/b:γ/c。

三线坐标和2维笛卡尔坐标之间存在转换公式。给定一个参考三角形ABC，将顶点B的位置表示成一个笛卡尔坐标的有序组，将其代数地写成一个以顶点C为起点的向量a。类似地定义顶点A为b。然后任何点P关于参考三角形ABC能定义一个2维笛卡尔坐标系，写成向量p= αa+ βb。如果点P有三线坐标x:y:z，那么变换公式是：

反过来，