定义
若 在
不解析,但在
的某一去心邻域
内解析,则称
是
的孤立奇点。
奇点分为孤立奇点和非孤立奇点。
设为
的孤立奇点,在
的去心邻域
内,
的洛朗级数为:
根据展开式的不同情况将孤立奇点分为:
(1)可去奇点
(2)(m级)极点
(3)本性奇点1
可去奇点设为
的孤立奇点,在
的去心邻域
内,
的洛朗级数为:
若无负幂项,
,则
为
的可去奇点。
例如,函数在
处不解析,它的洛朗展开式为:
展开式中并不含负幂项,那么 称为可去奇点。1
极点设为
的孤立奇点,在
的去心邻域
内,
的洛朗级数为:
若的负幂项只有m项,即
,其中,
由于在
的去心邻域
内解析,故
,则
为
的(m极)极点
例如, ,
是它的一个3级极点。1
本性奇点设为
的孤立奇点,在
的去心邻域
内,
的洛朗级数为:
若的负幂项有无穷多项,
不存在,也不是
,则称
为
的本性奇点。
例如,函数,
是
的本性奇点。1
分类判别规则设为
的孤立奇点,根据
时
的极限分类:1
(1)可去奇点 存在且有界
(2)极点
(3)本性奇点不存在,且不为
无穷远处设函数 在无穷远点
的去心邻域
内解析,其洛朗级数为:
,令
,则
在
的去心邻域
内解析,
的洛朗级数为
,则如下图1