[科普中国]-三重积分

定义

设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点 作和 .如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z）在区域Ω上的三重积分，记为 ，即 ，其中dv叫做体积元素。

其中，∫∫∫称为三重积分号，f(x,y,z）为被积函数，f(x,y,z)dv称为被积表达式，dv称为体积元，x、y、z为积分变量，Ω为积分区域， 为积分和。1

性质线性性质(1) (k为常数)，被积常数中的常数因子可以提到三重积分号外面。

(2)设α、β为常数，则 ，函数的和（或差）的三重积分等于各个函数的三重积分的和或差。

可加性质如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

不等性质 如果在G上，f(x,y,z)≤φ(x,y,z)，则有，特殊地，若函数f(x,y,z)在Ω上可积，则|f(x,y,z)|亦在Ω上可积，且有。

估值性质 设M、m分别为f(x,y,z)在闭区域G上的最大值和最小值，V为G的体积，则有mV≤≤MV。

积分中值定理设函数f(x,y,z)在闭区域G上连续，V是G的体积，则在G上至少存在一个点 使得

。

另外由重积分的性质知，当f（M）=1时，三重积分 ，这里V（Ω）表示空间域Ω的度量，即V（Ω）表示Ω的体积。2

计算方法直角坐标系法适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成

②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

柱面坐标法适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设

①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；

②函数条件：f（x,y,z）为含有与 （或另两种形式）相关的项。

球面坐标系法适用于被积区域Ω包含球的一部分。

①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；

②函数条件：f（x,y,z）含有与 相关的项。

几何意义三重积分就是立体的质量。

当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。

当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。

三重积分的对称性及其应用设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续

(1)如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为奇函数，则：

(2)如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，Ω1为Ω在相应的坐标面某一侧部分，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为偶函数，则：

(3)如果Ω与Ω’关于平面y=x对称，则：