[科普中国]-多元函数

定义多元函数定义

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。1

若对于每一个有序数组，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为 。 变量 称为自变量；y称为因变量。

当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D；

当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D，图象如图。

二元及以上的函数统称为多元函数。

其他定义设D是n维空间的一个点集，f为某一确定的对应法则。如果对于每个点P ，变量z按照对应法则f总有唯一确定的值和它对应，则称z是变量x1,x2,…,xn的n元函数。记为 ，其中 ，或z=f(P),P∈D。 若函数f的定义域D是实数集R的一个子集，即只依赖于一个自变量，就说f是一元函数。若函数f的定义域D是n个R的笛卡尔(R. Descartes)积R×R×…×R= 的子集,即依赖于n个独立自变量，就说f是n元函数。

当n≥2时，n元函数泛称为多元函数。1

二元函数的定义域通常是由平面上的一条或几条光滑曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线称为区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，否则称为开区域。

三要素定义域集合 ，称为函数的定义域，也可以记为D(f)或 。2

对应规则对应规则（也称对应关系、对应法则，对应规律），f可以用数学表达式（包括解析式）、图象、表格等表示。

值域对于 所对应的y值，记为 称为当 时，函数 的函数值。

全体函数值的集合 称为函数的值域，记为Z或Z(f)。

背景人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。1

但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。

例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

几点说明研究多元函数的思想方法

研究一元函数的思想方法是研究多元函数、尤其是二元函数的基础。研究二元函数的思想方法又是研究多元函数的基础。

多元函数性质

象一元函数一样，它也有定义域、值域、自变量、因变量等概念和性质。3

三种定义的异同

这里分别给出了多元函数的三种定义。极限、导数即有序数组定义、n维空间定义和笛卡尔积定义。可以说前两者是等价的。后者外延更广泛。

本质多元函数的本质是一种关系，是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵等等。一个元素或多个元素对应的结果可以是唯一的元素，即单值的。也可以是多个元素，即多值的。1

人们最常见的函数，以及目前我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。

设点 , ，若对每一点 ，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U, ，则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。

基本初等函数及其图像。幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。

①幂函数： （μ≠0，μ为任意实数定义域：μ为正整数时为(－∞,+∞)，μ为负整数时是

(－∞,0)∪(0，+∞),μ=α(为整数)，当α是奇数时为(－∞,+∞)，当α是偶数时为(0,+∞),μ=p/q,p,q互素，作为复合函数进行讨论。

②指数函数： (a>0 ,a≠1)，定义域为( －∞,+∞)，值域为（0,+∞），a>0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2>x1时，y2>y1）,01 时是严格单调增加的，0