[科普中国]-误差函数

定义

自变量为x的误差函数定义为：

且有erf(∞)=1和erf(-x)=-erf(x)。

互补误差函数erfc(x)定义为：

数学表达误差函数是特殊的不完全伽马函数之一1.即

也可以用汇合型超几何函数F(α;γ;z)或惠特克函数Wk，m(z)表示：

导数与积分误差函数的导数为：

等等

误差函数的重积分定义为：

且

可得

级数展开式误差函数的级数展开式为：

应用高斯函数的不定积分是误差函数。在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都有高斯函数的身影，这方面的例子包括：

在统计学与机率论中，高斯函数是常态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复杂总和的有限机率分布。

高斯函数是量子谐振子基态的波函数。

计算化学中所用的分子轨道是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合（参见量子化学中的基组）。

在数学领域，高斯函数在厄尔米特多项式的定义中起著重要作用。

高斯函数与量子场论中的真空态相关。

在光学以及微波系统中有高斯波束的应用。

高斯函数在图像处理中用作预平滑核。