[科普中国]-代数拓扑

详细介绍

拓扑空间是一般拓扑学的基本研究对象。确定了拓扑T的集合X称为拓扑空间，记为(X，T)。具有拓扑结构的抽象空间是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1906年和里斯(Riesz，F.(F.))于1907年首先引进的。弗雷歇用收敛序列，里斯用聚点分别定义了他们的空间。但里斯的定义过于一般且比较复杂，弗雷歇的定义过于狭窄。第一个令人满意的拓扑空间的定义是豪斯多夫(Hausdorff，F.)于1914年用邻域系提出的。他的定义发展了希尔伯特(Hilbert，D.)于1902年和外尔(Weyl，(C.H.)H.)于1913年的思想。希尔伯特和外尔用邻域分别给出平面和黎曼曲面的一种公理描述.而豪斯多夫将他们引进的概念给出适当的一般化，并发展成有系统且详尽的一般理论，从而奠定了一般拓扑学这一学科。稍后，穆尔(Moore，R.L.)于1916年用开集系，库拉托夫斯基(Kuratowski，K.)于1922年用闭包算子分别提出另一种公理系统，它们都是等价的。还可用闭集系、内部算子、收敛类等各种不同公理系统刻画拓扑空间。目前较常用的是开集系、邻域系或闭包算子等公理系统建立拓扑空间。2

发展历史欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。

20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。

此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。

代数不变量方法这里的目标是取拓扑空间然后把它们进一步分成范畴或分类。该课题的旧称之一是组合拓扑，蕴含着将重点放在如何从更简单的空间构造空间X的意思。如今应用于代数拓扑的基本方法是通过代数不变量，把空间映射到不变量上，例如，通过一种保持空间的同胚关系的方式映射到群上。

实现这个的两个主要方法是通过基本群，或者更一般的同伦理论，和同调及上同调群。基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息，但它们经常是非交换的，可能很难使用。（有限）单纯复形的基本群的确有有限表示。

另一方面来讲，同调和上同调群是可交换群，并且在许多重要情形下是有限生成的。有限生成交换群有完整的分类，并且特别易于使用。

同调的结果通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论。单纯复形的n-阶同调群的自由阶等于n-阶贝蒂数(Betti number),所以可以直接使用单纯复形的同调群来计算它的欧拉特征数。作为另外一个例子，闭流形的最高维的积分上同调群可以探测可定向性：该群同构于整数或者0，分别在流形可定向和不可定向时。这样，很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到。

在只定义在单纯复形的单纯同调之上，还可以使用光滑流形的微分结构来通过德拉姆上同调或Čech上同调或层上同调来研究定义在流形上的微分方程的可解性。德拉姆证明所有这些方法是相互关联的，并且对于闭可定向流形，通过单纯同调得出的贝蒂数和从德拉姆上同调导出的是一样的。3

在范畴论中一般来讲，所有代数几何的构造都是函子式的：概念范畴, 函子和自然变换起源于此。基本群，同调和上同调群不仅是两个拓扑空间同胚时的不变量；而且空间的连续映射可以导出所相关的群的一个群同态，而这些同态可以用于证明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。

代数拓扑的问题代数拓扑的经典应用包括：

▲Brouwer不动点定理：每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。

▲n维球面可以有一个无处为0的连续单位向量场当且仅当n是奇数。(对于n=2,这有时被称为"毛球定理"。)

▲Borsuk-Ulam定理:任何从n维球面到欧氏n维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点。

▲任何自由群的子群是自由的。这个结果很有意思，因为该命题是纯代数的而最简单的证明却是拓扑的。也就是说，任何自由群G可以实现为图X的基本群。覆盖空间的主定理告诉我们每个G的子群H是某个X的覆盖空间Y的基本群；但是每个这样的Y又是一个图。所以其基本群H是自由的。

代数拓扑中最著名的几何问题是庞加莱猜想。它已经由Hamilton，Grigori Perelman等数学家们解决（庞加莱定理）。同伦理论领域包含了很多悬疑，最著名的有表述球面的同伦群的正确方式。4