[科普中国]-支撑函数

简介

在数学中， 中的非空闭合凸集A的支撑函数 描述了支撑原始集A的超平面的距离。 支撑函数是 上的凸函数。 任何非空的封闭凸集A由 唯一确定。 此外，作为集合A的函数的支撑函数与许多几何操作相兼容，例如缩放，平移，旋转和闵可夫斯基加法。 由于这些属性，支撑函数是凸几何中最重要的基本概念之一。1

定义支撑函数 中的非空封闭凸集A由下式确定：

。当x是单位向量时，它的解释是最直观的：根据定义，A包含在封闭的半空间

并且在这个半空间的边界中至少有一个A点

因此，超平面 称为具有外部（或外部）单位法向量x的支撑超平面。 外部这个词在这里很重要，因为x的方向起作用，所以集合 通常不同于 。 现在 是 与原点的（有符号）距离。2

举例A = {a}的支撑函数是 。

欧几里得单位球B1的支撑函数是 。

如果A是具有端点-a的原点的线段，则A是 。

属性作为x的函数紧凑凸集的支撑函数是实值和连续的，但是如果集合是无界的，则其支撑函数被扩展为实值（它的值为 ）。 由于任何非空闭合凸集是其支撑半空间的交集，所以函数 唯一地确定A。 这可以用于分析描述凸集的某些几何属性。 例如，如果且仅 是偶函数，则集合A相对于原点是点对称的。

一般来说，支持功能是不可区分的。 然而，定向导数存在并产生支持集的支持功能。 如果A是紧凑且凸的，并且 表示方向x上u≠0的 的方向导数，我们有

这里 是上面定义的具有外部法向量u的A的支撑超平面。 如果 是单例 ，则说明支撑函数在u处是可微分的，其梯度与y重合。 相反，如果 在u是可微分的，则 是单例的。 因此，当且仅当A严格为凸（A的边界不包含任何线段）时， 在所有点u≠0时是可微分的。

它的定义直接遵循支持函数是正同质的：

和

因此， 是凸函数。 在凸几何中，这些属性表征支撑函数是至关重要的： 上的任何正齐次、凸实值函数是非空紧凑凸集。 已知有几个证明，一个正在使用的事实是，正均匀、凸实值函数的勒让德变换是紧凑凸集的（凸）指标函数。

许多作者将支撑函数限制在欧几里德单位球体上，并将其视为Sn-1的函数。 均匀性属性表明，这个限制确定了如上定义的 上的支撑函数。3

作为A的函数扩展集合的支持函数与原始集合A密切相关：

和

后者概括为

其中A + B表示闵可夫斯基总和：

两个非空紧凑凸集A和B的豪斯多夫距离可以用支持函数来表示，

作为集合A的函数的支撑函数的属性有时被总结为说将非空紧凑凸集的集合映射到 在正均匀延伸为凸的球体上的所有实值连续函数的锥。 稍微滥用术语，有时被称为线性，因为它尊重闵可夫斯基加法，尽管它不是在线性空间上定义的，而是在非空紧凑凸集的（抽象）凸锥上。 映射是具有豪斯多夫度量的锥体之间的等距，并且具有均匀范数的Sn-1上的连续函数族的子像素。4