[科普中国]-黎曼积分

概念

对于一在区间上之给定非负函数 ，我们想要确定 所代表的曲线与 坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为

黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时请注意，如 取负值，则相应的面积值 亦取负值。

定义1.区间的分割一个闭区间[a,b]的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列 。每个闭区间 叫做一个子区间。定义 为这些子区间长度的最大值： ，其中 。

再定义取样分割。一个闭区间[a,b] 的一个取样分割是指在进行分割 后，于每一个子区间中 取出一点 。 的定义同上。

精细化分割：设 以及 构成了闭区间[a,b] 的一个取样分割， 和 是另一个分割。如果对于任意 ，都存在 使得 ，并存在 使得 ，那么就把分割： 、 称作分割 、 的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

2.黎曼和对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数 ， 关于取样分割 、 的黎曼和定义为以下和式：

式中的每一项是子区间长度 与在 处的函数值 的乘积。直观地说，就是以标记点 到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

（一列黎曼和。右上角的数字表示矩形面积总和。这列黎曼和趋于一个定值，记为此函数的黎曼积分。）

3.黎曼积分不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。

要使得“越来越‘精细’”有效，需要把 趋于0。如此 中的函数值才会与 接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

严格定义如下：

是函数 在闭区间[a,b] 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的 ，都存在 ，使得对于任意的取样分割 、 ，只要它的子区间长度最大值 ，就有：

也就是说，对于一个函数 ，如果在闭区间[a,b] 上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数 的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么在闭区间[a,b] 上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数 为黎曼可积的。

这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有 的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。

另一个定义：

是函数 在闭区间[a,b] 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的 ，都存在一个取样分割 、 ，使得对于任何比其“精细”的分割 和 ，都有：

这两个定义是等价的。如果有一个 满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个 满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值 的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于 ，于是满足

黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

性质1.线性黎曼积分是线性变换，也就是说，如果 和 在区间[a,b] 上黎曼可积， 和 是常数，则：

由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间[a,b] 后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射 是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。

2.正定性如果函数在区间[a,b] 上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在[a,b] 上的积分也大于等于零。如果 在区间[a,b 上几乎处处大于等于0，并且它在 上的积分等于0，那么 几乎处处为0。

3.可加性如果函数 在区间[a,c] 和[c,b] 上都可积，那么 在区间[a,b] 上也可积，并且有

无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。

4.其他性质1）[a,b]上的实函数是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。

2）如果[a,b]上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。

3）如果 是[a,b]上的一个一致收敛序列，其极限为 ，那么：

4）如果一个实函数在区间上是单调的，则它是黎曼可积的，因为其中不连续的点集是可数集1。

推广黎曼积分可推广到值属于 维空间 的函数。积分是线性定义的，特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分（improper integral）一样。

不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。一般要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令 在 上，其它域上等于0。对所有 ， 。但 一致收敛于0，因此 的积分是0。因此 。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用2。

一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。

扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子 ，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法3