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[科普中国]-正规化子

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定义

是群 的一个子集,称

中的正规化子,元素的正规化子记为 。1

相关定理定理1设 是群 的任一非空子集,则

(1)

(2) 当 时, 。1

证明(1)因为 ,故 非空,又在 中任取x,y,则 ,从而

,故

(2)任取 ,由于H是子群,故 从而

又任取 ,则 ,从而

如果 ,则对K中任意元素k便有 ,从而便有 ,即

这就是说子群的正规化子 (也叫H的正规化群)是 中以H作为其正规子群的最大子群。

显然子群H的正规化子是整个群 当且仅当H是群 的一个正规子群,另外也可能出现另一种极端,即 ,例如三次对称群 的子群 就属于这种情况。

定理2设 是群 的一个非空子集, 中的正规化子,则 中与共轭的子集数等于

,即S的所有共轭子集与 关于 的所有陪集间可建立双射。1

证明 令是中含的共轭子集类(即与共轭的全体子集),再令

,则便有 ,从而

是M到 的左陪集的一个映射,又易知 还是满射和单射,从而为双射。

定理3pq阶群(p,q为素数且p