定义
设 是群
的一个子集,称
为
在
中的正规化子,元素
的正规化子记为
。1
相关定理定理1设 是群
的任一非空子集,则
(1)
(2) 当 时,
且
。1
证明(1)因为 ,故
非空,又在
中任取x,y,则
,
,从而
即
,
,故
。
(2)任取 ,由于H是子群,故
从而
又任取
,则
,从而
。
如果 ,则对K中任意元素k便有
,从而便有
,即
这就是说子群的正规化子
(也叫H的正规化群)是
中以H作为其正规子群的最大子群。
显然子群H的正规化子是整个群 当且仅当H是群
的一个正规子群,另外也可能出现另一种极端,即
,例如三次对称群
的子群
就属于这种情况。
定理2设 是群
的一个非空子集,
为
在
中的正规化子,则
中与共轭的子集数等于
,即S的所有共轭子集与
关于
的所有陪集间可建立双射。1
证明 令是中含的共轭子集类(即与共轭的全体子集),再令
若
,则便有
,从而
即
是M到
的左陪集的一个映射,又易知
还是满射和单射,从而为双射。
定理3pq阶群(p,q为素数且p