[科普中国]-常数变易法

定义

常数变易法是个特殊的变量代换法。

对于一阶线性微分方程 ，在解齐次方程时用 代换，而这里是 ; 一般地代换 ， 为 的确定函数， 是 的未知函数，那么 乘以 可以表示任意的 的函数。选一个适当的 ，就能使方程化成变量可分离的。这个 是怎么选定的，反向过来看，把 带入后，得到 ，刚好后两项相互抵消，就可分离变量。其实这个问题就是解 , 刚好就是求对应的齐次方程的解。1

应用求解 …….(1)

对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”，因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分。所以我们的思维就集中在如何将（1）式的 和 分离上来。

直接分离：=> …….(2)

从中看出 不可能单独除到左边来，所以是分不了的。故需要转换思想：

不妨设 ， 即 . 将 ， 代入(1)式:

=>=>=> ………(3)

这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。

不过，这里给我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了。比如说对于（3）式，如果 ，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果 ，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为 和 等于几是你无法干预的。不过我们可以想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零。

进一步：变量代换法

就是这么符合要求的一个函数。其中 和 都是关于 的函数。这样求 对应于 的函数关系就转变成分别求 对应于 的函数关系和 对应于 的函数关系的问题。

代入（1）式： ………(4)

如果利用分离变量法来求 对应于 的函数关系，那么 就是我们刚刚遇到的没法把 单独分离出来的那一项，把这一项变为零。

令 ，解出v对应x的函数关系，这是一个可以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。

=> ………(5)

已解出，接下来该处理 了，实际上当 解出来后 就十分好处理。把（5）式代入（4）式，则 这一项便被消掉了。剩下的是

而这也是一个可以分离变量的微分方程。同样可以十分容易地解出来：

=>=> ……(6)

和 都已求出，那么 也迎刃而解：

=

= ………(7) (这里 )

这个方法看上去增加了复杂度，实际上却把一个不能直接分离变量的微分方程化成了两个可以直接分离变量的微分方程。这个方法叫“变量代换法”，即用 代换了 。

再进一步：常数变易法

再进一步观察我们可以看出，求 的微分方程（即 ）其实就是求 当 时的齐次方程。所以，我们可以直接先把非齐次方程当作齐次方程来解。即解出 的解来。 得： ………(8)

注意这里的 并非最终答案，从上一环节我们知道这其实是 而已。而最终答案是 ， 仅是其中一部分。因此这里的 并不是我们要的y，因此还要继续。

把（8）式和上面提到的（7）式比较一下：

………(7)

………(8)

（7）式是最终的结论，（8）式是我们可以到达的地方。把（8）式的那个 换成 ，再把这个 解出来。像上面这种将常数变易为待定函数去求微分方程解的方法，称为常数变易法。2即把常数 硬生生地变成 ，把 代入（1）式，由于 是一个可以令那个分离不出变量的项被消掉的特解，因此即可知一定会解得 。从中解出 ，再代回 便可得到最终答案。