[科普中国]-半单李代数

概念与性质

在数学中，单李代数是除了零和本身之外没有其它理想的李代数。半单李代数是指能表为单李代数的直和的李代数。若一个李代数能表为半单李代数与阿贝尔李代数的直和，则称之为约化李代数。半单李代数与约化李代数是李代数研究中的主要对象。1

设g为李代数，其半单性有下述刻划：

● g 能表为单李代数之直和。

● Killing 形式B(x,y):=Tr(adX adY) 非退化。

● g没有非零的阿贝尔理想。

● g没有非零的可解理想。

● rad(g)=(0)

此外，若g定义在零特征的域上，则可追加一项

● 半单当且仅当每个g的表示都是完全可约的。

半单李代数的另一个重要性质是[g,g]=g，其逆未必成立。

李代数一类重要的非结合代数。非结合代数是环论的一个分支，与结合代数有着密切联系。结合代数的定义中把乘法结合律删去，就是非结合代数。2

李代数是挪威数学家S.李在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。在更早些时候，它曾以含蓄的形式出现在力学中，其先决条件是“无穷小变换”概念，这至少可追溯到微积分的发端时代。可用李代数语言表述的最早事实之一是关于哈密顿方程的积分问题。S.李是从探讨具有r个参数的有限单群的结构开始的，并发现李代数的四种主要类型。法国数学家É.嘉当在1894年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。他和德国数学家基灵都发现，全部单李代数分成4个类型和5个例外代数，É.嘉当还构造出这些例外代数。É.嘉当和德国数学家外尔还用表示论来研究李代数，后者得到一个关键性的结果。“李代数”这个术语是1934年由外尔引进的。随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升。到20世纪80年代，李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域。

记L为域F上的线性空间，若L中除了加法和纯量积，还有第三种代数运算：L×L→L，记为[x，y]，任意x，y∈L，它适合条件：

1.反对称性 [x，x]=0， x∈L.

2.双线性性 [λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L.

3.Jacobi恒等式 [[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L.

则[x，y]称为x和y的换位运算，亦称“方括号运算”。这时L称为域F上李代数，简称李代数.当L的维数有限时，称为有限维李代数;当L的维数无限时，称为无限维李代数。例如，若L为域F上的结合代数，满足结合律的乘法，记为ab，a，b∈L，则运算[a，b]=ab-ba，a，b∈L为换位运算.在此运算下，L为李代数。特别地，若L为由所有n×n矩阵构成的结合代数，则在矩阵运算下定义3

[A，B]=AB-BA

便构成一个n维李代数。

单李代数单李代数一类结构简单的李代数。设L为域F上的李代数，若L的非零理想只有L本身，且[L，L]≠0，则L称为单李代数.单李代数必为半单李代数，反之，在实数及复数的情形，半单李代数必为单理想子代数的直和，因此，研究实及复半单李代数的问题化为研究实及复单李代数。4

约化李代数一类重要的表示。可归结为不可约表示。设(V，ρ)为李代数L的表示.若对L中任一不变子空间V1，必存在另一不变子空间V2，使得V=V1+V2为空间直和，则表示(V，ρ)称为完全可约的.由定义，不可约表示完全可约。若(V，ρ)为L的有限维表示且完全可约，则V必可分解为不可约子模的直和V=V1⊕V2⊕…⊕Vs(分解的方法不一定惟一).若李代数L的任一有限维表示完全可约，则L称为约化李代数。约化李代数为中心及单理想之直和。因此，紧李代数必为约化李代数。

人物简介S.李是挪威数学家。生于努尔菲尤尔埃德，卒于克里斯蒂安尼亚(今奥斯陆)。1865年毕业于克里斯蒂安尼亚大学。1869年获奖学金到柏林留学，与C.F.克莱因在一起工作并结为好友。第二年在巴黎又结识了达布和若尔当，受到法国学派的影响。1871年回国在克里斯蒂安大学执教，1872年获博士学位。1886年到莱比锡大学接替C. F.克莱因的职务主持数学讲座，12年后返回挪威。1892年当选为法国科学院院士。1895年成为英国皇家学会会员。他还是许多其他科学机构的成员。S.李的主要贡献在以他的名字命名的李群和李代数方面。1870年，他从求解微分方程入手，依靠微分几何方法和射影几何方法建立起一种变换，将空间直线簇和球面一一对应。不久他发现，这种对应是连续的，能将微分方程的解表示出来并加以分类。由此S.李引入了一般的连续变换群概念，证明了一系列定理来发展他的理论。他把微分方程的自同构群作为工具，对二维群和三维群进行分类。在以后的多年中，S.李和他的助手继续丰富完善连续群论学说，出版了3卷本的专著《变换群论》(1888—1893)，后人为纪念他的贡献，将连续群改称“李群”。为研究李群，他还创立了所谓“李代数”——一种由无穷小变换构成的代数结构，并研究了二者之间的对应关系。李代数现已成为现代代数学的重要分支。此外，S.李在代数不变量理论、微分几何学、分析基础和函数论等方面也有建树。S.李的工作在20世纪初由法国数学家E.嘉当等加以发展。5