[科普中国]-重根

定义

如果 有 重因式 ，即

其中， 是大于1的自然数， 是不含因式 的多项式，则称 存在重根 ，且其重数为 。1

性质根据多项式乘积的导数公式，对函数 求导可得：

上式中，由于 不含因式 ，而 含有因式 ，于是括号中的 不含有因式 ，因此 是 的 重根。由此可以得到多项式重根有以下性质：

①多项式的重根也是它的导数函数的根，且作为导数根的重数少1。

②当且仅当多项式 与它的导数 的最高公因式是零次多项式时，多项式 才没有重根。1

应用举例判断方程 有没有重根。

解：设 ，则 ，即 和 是 的根，先将这两根分别代入，由于是的根，所以是多项式与它的导数的公根，它就是的重根；而不是的根。1