[科普中国]-等腰梯形

定义

一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形叫做等腰梯形。顾名思义，它是梯形的一种特殊情况，即两腰相等的梯形。1在等腰梯形中，如图1，平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，即BC，较短的一条底边叫上底，即AD。另外两边叫腰，即AB和CD。夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

性质1、等腰梯形同一底上的两个内角相等。

2、两腰相等，两底平行，对角线相等 。

3、由托勒密定理可得等腰梯形ABCD，如下图，有 。

4、中位线长是上下底边长度和的一半，如图2，中位线为EF，且 。

5、两条对角线相等，如图2，即

6、等腰梯形的面积公式：S=(上底+下底)×高÷2。

7、特殊面积计算：当对角线垂直时：如图2， 。

8、等腰梯形对角线的平方等于腰的平方与上、下底积的乘积和，如图2

9、等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，过上下两底中点的直线即为对称轴。2

判定1、一组对边相等且不平行，另一组对边平行的四边形是等腰梯形。

2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

3、对角线相等的梯形是等腰梯形。

4、两腰相等的梯形是等腰梯形

以下判定不作为定理使用：

5、对角线相等且能形成两个等腰三角形的四边形是等腰梯形。

6、对角互补的梯形是等腰梯形。

面积公式梯形的面积=（上底+下底）×高÷2；1

用、、分别表示梯形的上底、下底、高，“S”表示梯形的面积，则。

特殊情况：

1. 若对角线互相垂直，则面积为1/2 两对角线的乘积。

2.在已知中位线情况下，中位线×高。

面积推导：

设有两个完全一样的等腰梯形，将这两个梯形拼成一个平行四边形，则

平行四边形底=等腰梯形上底和下底之和，平行四边形高=等腰梯形的高，设上底为，下底为，高为，则平行四边形面积，所以等腰梯形面积。

周长公式等腰梯形的周长=上底+下底+2×腰 ，设等腰直角形上底为，下底为，腰为，高为，周长为

（1）已知上底、下底、腰，计算周长

。

（2）已知上底、下底、高

推导如下：

根据勾股定理，可求得腰长为：

故，等腰梯形周长为

常用辅助线如图2，为一些常用的辅助线。

1、平移一腰。

2、过上底两点向下底两点做垂线。

3、延长两腰交于一点。

4、平移一条对角线。2