[科普中国]-绝对收敛

级数定义

如果级数 各项的绝对值所构成的级数 收敛，则称级数 绝对收敛，级数 称为绝对收敛级数。

定理定理1：绝对收敛级数一定收敛。

定理2：设级数 绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得的级数也绝对收敛，且有相同的和数。

注意：由条件收敛级数重排后所得的新级数，即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。而且，条件收敛级数适当排列后，可得到发散级数，或收敛于事先任意指定的数。

定理3：若级数：

都绝对收敛，则对所有乘积 按任意排列所得的级数 也绝对收敛，且其和等于AB。1

判别方法由定义可知，要知道 是否绝对收敛，只需要看 是否收敛。下面将介绍5种判别级数是否收敛的方法。1

（1）【阿贝尔判别法】

若 为单调有界数列，且级数 收敛，则级数 收敛。

（2）【狄利克雷判别法】

若数列 单调递减，且 ，又级数 的部分和数列有界，则级数 收敛。

（3）【比式判别法】

设 为正项级数，且存在某正整数 及常数q 。若对一切 ，不等式 成立，则级数 收敛；若对一切 ，不等式 成立，则级数 发散。

【推论】

设 为正项级数，且 ，则若 时，级数 收敛；若 或 时，级数 发散；若 ，则无法判断。

（4）【根式判别法】

设 为正项级数，且存在某正整数 及正常数 。若对一切 ，不等式 成立，则级数 收敛；若对一切 ，不等式 成立，则级数 发散。

【推论】

设 为正项级数，且 ，则若 时，级数 收敛；若 时，级数 发散；若 ，则无法判断。

（5）【比较原则】

设 和 是两个正项级数，如果存在某个正数N，对一切n>N，都有： ，若级数 收敛，则，级数 也收敛；若级数 发散，则， 也发散。

无穷积分定义1. 若函数 在任何有限区间 上可积，且无穷积分 收敛，则称 绝对收敛。

2.函数在区间上连续，且无穷限积分收敛，则称绝对收敛

定理1. 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ，存在 ，只要 ，便有：

2.收敛的充要条件是：存在上界

判定方法（1）【比较判别法】

设定义在上的两个函数f 和 g 都在任意有限区间上可积，且满足

则当收敛时，必定收敛。

（2）【狄利克雷判别法】

若在上有界，在上当 时单调趋于0，则收敛。

（3）【阿贝尔判别法】

若收敛，在上单调有界，则收敛。2

无论无穷级数还是无穷积分，它们都是要么发散，要么条件收敛，要么绝对收敛，三者必居其一。