[科普中国]-极值

简介

极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函数称为极值函数，若它为一元函数，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。

“极大值” 和 “极小值”的统称。如果函数在某点的 值大于或等于在该点附近任何其他 点的函数值，则称函数在该点的值 为函数的“极大值”。如果函数在某 点的值小于或等于在该点附近任何 其他点的函数值，则称函数在该点 的值为函数的“极小值”。

数学词典中的表述函数在其定 义域的某些局部区域所达到的相对 最大值或相对最小值。当函数在其 定义域的某一点的值大于该点周围 任何点的值时，称函数在该点有极 大值; 当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时， 称函数在该点有极小值。这里的极 大和极小只具有局部意义。因为函 数的一个极值只是它在某一点附近 的小范围内的极大值或极小值。函 数在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函数的极值 通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那么：

1）若f"（x0）0恒成立

fy=3y^2-4y=0得到y=0或者y=4/3

定理1（必要条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零

fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。

定理2（充分条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，

则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：

（1）AC-B2>0时具有极值，且当A0时有极小值；

（2）AC-B2