[科普中国]-公切线

公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。1

性质1.两圆的两条外公切线长相等；

2.两条内公切线的长也相等。

3.两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。

两圆的外公切线如图1所示。

数量关系外公切线的长=根号下圆心距的平方-大圆半径减小圆半径的平方=

内公切线的长=根号下圆心距的平方-大圆半径加小圆半径的平方=

外公切线与连心线夹角的正弦值=圆心距分之大圆半径减小圆半径；

内公切线与连心线夹角的正弦值=圆心距分之大圆半径加小圆半径。

位置关系公切线的条数与两圆的位置关系如下：

若两圆相离，则有4条公切线；

若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）；

两圆相交，则有2条公切线（外切）；

若两圆内切，则有1条公切线；

若两圆内含，则有0条公切线。

尺规作图方法方法一：平移法（如图2所示）

取圆O1，圆O2上的半径O1A，O2B；

以B为圆心，以O1A的长度为半径画圆交O2B于C；

以为O1O2直径画圆D，以O2为圆心，O2C的长度为半径画圆，与圆D交与E；

连接O2E并延长交圆O2于F；

过O1作O1G||O2F交圆G，则直线GF即为所求。

方法二：位似法（如图3所示）

作圆O1的一条半径O1A，在圆O2中取一条与之平行的半径O2B；

连接BA，O2O1并延长交于P；

取PO1中点C，以C为圆心，CP长为半径画弧交圆O1于D，作直线PD，那么直线PD也与圆O1、圆O2相切。

例题作外公切线已知：圆O半径为R，O'半径为r（假设R>r），求作它们的外公切线。

作法：

连接OO'，作出线段OO'的中点M；

以M为圆心，MO为半径画圆；

以O为圆心，R-r为半径画圆，与圆M的交点记作A、A'；

作射线OA交圆O于Q，过O'作OQ的平行线，交圆O'于P；

过P、Q作直线，直线PQ即为所求（如图4所示）2。

作内公切线连OO'，作出线段OO'的中点M；

以M为圆心，MO为半径画圆

以O为圆心，R+r为半径画圆，与圆M的交点记作A，A'；

作射线OA交圆O于Q，过O'作OQ的平行线，交圆O'于P；

过P、Q作直线，直线PQ即为所求（如图5所示）。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学