[科普中国]-最小作用原理-

在物理学里，最小作用原理，即最小作用量原理（英语：least action principle），或更精确地，平稳作用量原理（英语：stationary action principle），是一种变分原理，当应用于一个机械系统的作用量时，可以得到此机械系统的运动方程。这原理的研究引导出经典力学的拉格朗日表述和哈密顿表述的发展。卡尔·雅可比特称最小作用量原理为分析力学之母[1]。

在现代物理学里，这原理非常重要，在相对论、量子力学、量子场论里，都有广泛的用途。在现代数学里，这原理是莫尔斯理论的研究焦点。本篇文章主要是在阐述最小作用量原理的历史发展。关于数学描述、推导和实用方法，请参阅条目作用量。最小作用量原理有很多种例子，主要的例子是莫佩尔蒂原理（Maupertuis' principle）和哈密顿原理。

在最小作用量原理之前，有很多类似的点子出现于测量学和光学。古埃及的拉绳测量者（rope stretcher）在测量两点之间的距离时，会将固定于这两点的绳索拉紧，这样，可以使间隔距离减少至最低值[2]。托勒密在他的著作《地理学指南》（Geographia）第一册第二章里强调，测量者必须对于直线路线的误差做出适当的修正。古希腊数学家欧几里得在《反射光学》（Catoptrica）里表明，将光线照射于镜子，则光线的反射路径的入射角等于反射角。稍后，亚历山大的希罗证明这路径的长度是最短的[3]。

费马的表述1662年，皮埃尔·德·费马提出费马原理，又称为“最短时间原理”：光线移动的路径是需时最少的路径。1

费马原理更正确的版本应是“平稳时间原理”。对于某些状况，光线移动的路径所需的时间可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。例如，对于平面镜，任意两点的反射路径光程是最小值；对于半椭圆形镜子，其两个焦点的光线反射路径不是唯一的，光程都一样，是最大值，也是最小值；对于半圆形镜子，其两个端点Q、P的反射路径光程是最大值；又如最右图所示，对于由四分之一圆形镜与平面镜组合而成的镜子，同样这两个点Q、P的反射路径的光程是拐值。

假设，介质1、介质2的折射率分别为、，光线从介质1在点O移动进入介质2，则斯涅尔定律以方程表达为

其中，为入射角，为折射角。

从费马原理，可以推导出斯涅尔定律。通过设定光程对于时间的导数为零，可以找到“平稳路径”，这就是光线移动的路径。光线在介质1与介质2的速度分别为

其中，是真空光速。

由于介质会减缓光线的速度，折射率和都大于。

如右图所示，从点Q到点P的移动时间为

根据费马原理，光线移动的路径是所需时间为极值的路径，取移动时间对变数的导数，设定其为零：

由图中的边角关系，可以得到移动速度与折射角的关系式：

将移动速度与折射率的关系式代入，就会得到斯涅尔定律：

费马原理引发了极大的争议。假若介质的密度越小，光线的移动速度越快，则费马原理是正确的；但是，艾萨克·牛顿和勒内·笛卡儿都认为介质的密度越大，光线的移动速度就越快。1802年，托马斯·杨做实验发现，当光波从较低密度介质移动进入较高密度介质之后，光波的波长会变短，他因此推论光波的运动速度会降低。23

莫佩尔蒂的表述最小作用量原理应用于作用量的最初始表述，时常归功于皮埃尔·莫佩尔蒂。于1744年和1746年，他写出一些关于这方面的论文。但是，史学专家指出，这优先声明并不明确。莱昂哈德·欧拉在他的1744年论文里就已谈到这原理。还有一些考据显示出，在1705年，戈特弗里德·莱布尼茨就已经发现这原理了。

莫佩尔蒂发表的最小作用量原理阐明，对于所有的自然现象，作用量趋向于最小值。他定义一个运动中的物体的作用量为，物体质量、移动速度与移动距离的乘积：

莫佩尔蒂又从宇宙论的观点来论述，最小作用量好像是一种经济原理。在经济学里，大概就是精省资源的意思。这论述的瑕疵是，并没有任何理由，能够解释，为什么作用量趋向最小值，而不是最大值。假若，我们解释最小作用量为大自然的精省资源，那么，我们又怎样解释最大作用量呢？

折射理论于1744年，在巴黎科学院发表的一篇论文《几种以前互不相容的自然定律的合一论》中，莫佩尔蒂提出，光折射的路径，从一种介质到另一种介质，是作用量的最小值。按照这论点，如前图，假设光线从折射率为的介质1折射于折射率为介质2，则作用量为

其中，是光线的质量。虽然光线并没有质量，这变量对于结果没有任何影响，可以被忽略。

取作用量对于变数{\displaystyle x}的导数，设定为零，经过一些运算，可以得到

请注意，这结果与牛顿的光粒子理论相符合；但是，与费马得到的结果南辕北辙，大不相同。4

非弹性碰撞1747年，莫佩尔蒂在伯林科学院（Academy of Berlin）发表了论文《运动与静止定律》。在这篇论文里，他将碰撞分为两种，弹性碰撞与非弹性碰撞。弹性碰撞遵守动量守恒和能量守恒；非弹性碰撞只遵守动量守恒。莫佩尔蒂可以将最小作用量原理应用于弹性碰撞与非弹性碰撞，正确地计算出碰撞后的物体的速度。

思考一个一维非弹性碰撞，假设两个质量分别为和的物体O1和物体O2，分别以初始速度和朝着同一方向移动，而且，，物体O1紧追着物体O2。当两物体发生非弹性碰撞后，结合成为物体O3，以终结速度移动。从固定于物体O3的参考系观察，物体O1和物体O2的速度分别为和。所以，作用量为