[科普中国]-超限数

超限数的研究是根据数学理论发展的需要提出来的，自从1883年德国数学家康托尔(1829 一1920) 建立集合 论以来，集合论的思想和方法已经渗透到各个领域。在数学研究对象中，更多的是无穷集合，用什 么 样 的 数刻 划无穷集合元素个数的无穷程度成了研究无穷集合的一个重要问题。十九世纪末期 ，康托尔首先进行了超限数的 研究，基本上解决了这一 问题，使超限数的思想和方法成了今日数学的基础1。

超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数或序数。分别叫做超穷基数和超穷序数。

术语“超限”（transfinite）是康托尔提出的，他希望避免词语无限（infinite）和那些只不过不是有限（finite）的那些对象有关的某些暗含。当时其他的作者少有这些疑惑；现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语“超限”仍在使用。

超穷序数可以确定超穷基数，并导出阿列夫数序列。

对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作为序数。不像有限基数和序数，超限基数和超限序数定义了不同类别的数。

1.最小超限序数是ω。

2.第一个超限基数是aleph-0，整数的无限集合的势。如果选择公理成立，下一个更高的基数是aleph-1 。如果不成立，则有很多不可比较于aleph-1并大于aleph-0的其他基数。但是在任何情况下，没有基数大于aleph-0并小于aleph-1。

连续统假设声称在aleph-0和连续统（实数的集合）的势之间没有中间基数：就是说，aleph-1是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假，由于不完备性的影响。

某些作者，比如Suppes、Rubin使用术语超限基数来称呼戴德金无限集合的势，在可以不等于无限基数的上下文中；就是说在不假定可数选择公理成立的上下文中。给定这个定义，下列是等价的2：

1） 是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合 使得 的势是 ；

2） ；

3） ；

4）有一个基数 使得 。