[科普中国]-共点

共点(concurrent)是几何学的基本概念之一，平面上或空间中若干几何元素共有的与点的结合关系，若干直线(或圆或平面)共点是说它们通过同一个点，若干直线或若干平面都共点是说它们都通过一个公共点，共点的直线(圆、平面)称为共点线(圆、平面)1。

基本介绍平面的甚本性质是研究立体几何的基础，点、线、面是立体几何中的最基本的元素，因此共点，共线、共面问题是立体几何中一类不可忽视的问题。

所谓共点、共线、共面问题通常指线共点、面共点、点共线、面共线、点共面与线共面问题，证明这类问题常采用共面定理、同一法、向量法等等。

线共点定义通过同一点的若干条直线称为共点****线，或称为这些直线共点。

三个平面两两相交得到三条交线，这三条交线或交于一点，或相互平行。

证明方法证明三条或三条以上直线共点的方法有以下几个（具体例题请参考相应参考资料）。

1.利用特殊点的唯一性

(1)利用已知线段中点，内定比分点，外定比分点的唯一性；

(2)利用已知四边形对角线交点的唯一性；

(3)利用三角形各心的唯一性。

2.利用三点共线证明三线共点

从一般的意义来说，证明三条直线AB、CD、EF交于一点的问题，可转化为证明AB和CD的交点P和点F、E三点共线。

3. 利用同一法

要证AB、CD、EF三条直线共点，可设AB与EF交于M，CD与EF交于N，如果证明M和N重合，则AB、CD、EF三线共点。

4. 利用塞瓦定理的逆定理

△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上或延长线上的点，且满足，则AD、BE、CF交于一点。

5.利用位似图形

如果能证明两个图形是位似图形，那么对应点的连线共点。

6. 利用笛沙格定理的逆定理

△A1B1C1与△A2B2C2在同一平面内，B1C1与B2C2的交点为X，C1A1与C2A2的交点为Y，A1B1与A2B2的交点为Z，且X、Y、Z在一直线上，则三直线交于一点。

7.利用****布列安桑定理

外切于一个非退化的二阶曲线的简单六边形的三对对顶点的连线交于同一点，这个点称为布列安桑点2。

例1 设四边形ABCD的一组对边BA和CD的延长线交于点E，另一组对边AD和BC的延长线交于点F，则AC的中点L，BD的中点M及EF的中点N三点共线。

**证明：**如图1所示，设P、Q、R分别为EB、EC、CB的中点，因L、Q、R分别是CA、CE、CB的中点，所以它们在同一直线上，且有

同理，M、R、P三点在同一直线上，且

N、P、Q三点在同一直线上，且

(1)×(2)×(3)得

所以

因L、M、N三点分别在△PQR三边或其延长线上，敌由梅涅劳斯定理的逆定理知，L、M、N三点共线。

圆共点有几个圆交会于一点时，这些圆叫做共点的圆。为证若干个圆共点，可先证其中两圆相交(或相切)于某点，然后再证此点也在其它圆上，这样，就是把共点圆的问题化为共圆点的问题来研究，现举例如下：

三点共圆例2设在△ABC三边BC、CA、AB所在直线上各任取一点X、Y、Z(如图2)，则三圆AYZ、BZX、CXY共点。

**证明：**如图2所示，⊙BZX与⊙CXY已有一交点X，故当有第二交点O，连OX，OY、OZ，则有∠AYO=∠CXO=∠BZO，因此O点在⊙AYZ上，这就是说，三圆⊙AYZ、⊙BZX、⊙CXY交会于同一点O。

请注意，如果当初X、Y、Z、O各点位置若有更动，不象图2那样的话，仍有三圆共点的结论，但证法须作相应的修改，建议读者自选此种情形，予以试证。此处不再赘述。

四圆共点例3 四条直线AE、AF、ED、FB两两相交成四个三角形，它们的四个外接圆ABF、BCE，CDF及DAE共点。这点叫做四条直线所构成的完全四边形的密克点(Miquel)。

**证明：**如图3，先从△ABF来看，D、E、C是它三边所在直线上的点，故三圆⊙BCE、⊙CDF、⊙DAE共点(如例2)，也就是说，⊙DAE通过⊙BCE与⊙CDF的第二交点O。

再从△DAE来看，B、C、F是它三边所在直线上的点，所以三圆⊙ABF，⊙BCE、⊙CDF也共点，这就证明了⊙ABF也通过⊙BCE与⊙CDF的交点O。

多个圆共点介绍一下四条相交直线组成的一个所谓“完全四边形”，例如AE，AF、BF、DE四条直线(如图4)，它包含三个四边形：凸的ABCD四边形，凹的AECF四边形，折的BEDF四边形，这样的四条直线AE、AF、BF、DE组成的图形就叫做是一个完全四边形。其中每个四边形的对边都叫做完全四边形的“对节’’，于是一个完全四边形共有六双对节(图4)。

过完全四边形每双对节的中点及它们所在边的交点作圆，则此六圆共点3。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学