[科普中国]-布尔空间

概念

布尔空间(Boolean space)是一种特殊的拓扑空间。如果拓扑空间X的所有闭开子集的集合clop X是X的拓扑的基，则说X是零维的。紧致的并且零维的豪斯多夫空间称为布尔空间。其特点是：

1.每一个有穷离散空间是布尔空间。

2.任何布尔空间族的乘积空间都是布尔空间。

3.布尔空间的每一个子空间是布尔空间。

可利用布尔空间这一概念研究布尔代数的结构，建立布尔代数和拓扑空间之间的联系。

拓扑空间欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。

20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。

此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。 1

豪斯多夫空间在拓扑学和相关的数学分支中，豪斯多夫空间、分离空间或T2 空间是其中的点都“由邻域分离”的拓扑空间。在众多可施加在拓扑空间上的分离公理中，“豪斯多夫条件”是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性。豪斯多夫得名于拓扑学的创立者之一费利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓扑空间定义把豪斯多夫条件包括为公理。

假设 X 是拓扑空间。设x和y是X中的点。我们称x和y可以“由邻域分离”，如果存在 x 的邻域 U和y的邻域V使得U和V是不相交的 (U ∩ V = ∅)。X是豪斯多夫空间如果任何两个X 的独特的点可以由邻域分离。这时的豪斯多夫空间也叫做T2空间和分离空间的原因。

X 是预正则空间，如果任何两个拓扑可区分的点可以由邻域分离。预正则空间也叫做 R1空间。

在这些条件之间的联系如下。拓扑空间是豪斯多夫空间，当且仅当它是预正则空间和柯尔莫果洛夫空间的二者(就是说独特的点是拓扑可区分的)。拓扑空间是预正则空间，当且仅当它的柯尔莫果洛夫商空间是豪斯多夫空间。

布尔代数又称“逻辑代数”，是英数学家、逻辑学家布尔(George Boole 1815-1864)所创立的一个代数系统。布尔认为，逻辑关系和某些数学运算甚为类似，代数系统可以有不同的解释，把解释推广到逻辑领域，就可以构成一种思维的演算。他在其著作《逻辑的数学分析》(1847年)及《思维规律》(1854年)中引进了逻辑代数基本概念，构成了一个抽象代数系统。用这种系统可以较容易地处理传统逻辑所不能处理的逻辑问题。布尔对他的代数系统给了四种解释：一种是类演算，两种是命题演算，一种是概率演算。2

经过后来数学家的进一步改进，布尔代数成为如下的一个数学系统：设B是一个至少有两个元素的集合，其中定义两种运算：+(逻辑加法)。*(逻辑乘法)，B中元素对于这两种运算，如果满足下面公理：对任意的x，y，z∈B，

公理1：x+y=y+x;x*y=y*x;

公理2：x*(y+z)=(x*y)+(x*z);

x+(y*z)=(x+y)*(x+z);

公理3：B中有元素0和1满足：

x+0=x;x*1=x;

公理4：对任意x∈B，有x′∈B，使

x+x′=1;x*x′=0;则称B为一个布尔代数。

例如，令B={0，1}，让1表示真命题，0表示假命题，定义+运算如下：

0+0=0;0+0=1;1+0=1;1+1=1;定义*运算如下：

0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1;

则它表示的就是一个命题代数系统。由于有1+1=1，它不同于一般的代数系统。

在布尔代数的基础上，人们又发展了开关代数。开关代数在组合电路、电路网络中有极大的应用价值。

人物简介——布尔英国数学家、逻辑学家。由于应用代数方法研究逻辑问题形成逻辑代数，被认为数理逻辑奠基人。著有《逻辑的数学分析：论演绎推理的演算法》、《思维规律研究》等。布尔对微分方程和概率论等数学分支颇有研究，但他的主要贡献是在逻辑方面，创立了逻辑代数。布尔在年轻时曾设想代数公式可用以表达逻辑关系。为此，他以实事求是的科学态度从事研究，力图构造一种思维演算。他的指导思想是：逻辑关系与某些数学运算甚为相拟，代数系统可以有不同解释，把解释推广到逻辑领域，就可以构成一种思维演算。根据这种思想，他构成了一种被现代数学或现代逻辑称为布尔代数或逻辑代数的抽象代数系统。他给出的一种解释是类演算。布尔当时所提出的演算还很不成熟。例如，演算的许多公式没有逻辑解释，逻辑加法要求两类不相交，用一个不确定的类表示特称命题，等等。尽管有这些缺点，布尔的贡献还是伟大的，他在逻辑史上首先提出了一个逻辑演算，成为继G·W·莱布尼茨之后的数理逻辑的又一创始人。以他命名的布尔代数现已发展为结构极为丰富的代数理论，并且无论在理论方面还是在实际应用方面都显示出它的重要价值。