[科普中国]-弱不可达基数

概念

弱不可达基数是一种正则基数。既是极限基数又是正则基数的不可数基数。若为弱不可达基数，则，且α是极限序数。因为，所以。可见是非常大的。由定义还可看出，不可达基数κ不可能由比它小的基数通过基数的加法、乘法、乘幂和取极限等运算得到。豪斯多夫(F.Hausdorff)在1908年提出了弱不可达基数的概念。现已知道弱不可达基数的存在性在ZFC系统中是不可证的。1

基数亦称势。公理集合论的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德国数学家康托尔(G.Cantor)之前，无穷只是一个很模糊的概念，人们无法区分两个无穷集的大小。1873年，康托尔发现自然数集与实数集之间不存在一一对应的关系，由此意识到可以用一一对应作为度量无穷集合大小的尺度。他把集合的大小称为集合的势，记为x=，x为一集合。并且他定义，若集合A与集合B之间可建立一一对应关系，则称A与B等势，记为A≈B。然而康托尔对势没有作非常严格的定义，而将集合的势定义为从集合中抽去元素特性及顺序特性得出的一般概念。德国数学家、数理逻辑学家弗雷格(G.Frege)与英国数理逻辑学家罗素(B.A.W.Russell)将集合的基数(势)定义为在等势关系下该集合所在的等价类。这一定义虽然比较严格，但这样定义的基数不是ZF公理集合论中集合的基数。在ZF公理集合论中，按如下方法定义集合x的基数|x|：

1.若x是可良序化的，则定义|x|为最小的与x等势的序数。

2.若不然，则定义|x|为与x等势的真类中所有具有最小秩的元素的全体所组成的集合。

如果某个集合的基数是a，则如此定义的基数满足|x|=|y|，当且仅当x≈y。定义1是由美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼(J.von Neumann)于1928年引入的；定义2则是上述弗雷格与罗素思想的翻版。如果存在从集合x到y的单射，则定义|x|≤|y|。如果|x|≤|y|且|y|≤|x|，则|x|=|y|。这就是著名的康托尔-伯恩施坦定理。对于任意的集合x和y，有|x|≤|y|或者|y|≤|x|，当且仅当选择公理成立。可良序化的集合的基数称为良序基数。每一个良序基数都是序数。因此，若设定某一选择公理，则每一个基数都是序数。对任意的序数α，存在大于α的最小良序基数，记为α+。由此可见，所有的良序基数构成序数全域的一个无界的子类，即为真类。因此，可以定义一个从序数全域到所有无穷良序基数构成的真类上的保序映射，使得ᗄα