[科普中国]-平集格

平集格(lattice of flats)是一种组合构形。在偏序集P=(E，≤)上所有平集构成的格L，其序关系为集合包容关系。1

概念平集格(lattice of flats)是一种组合构形。在偏序集P=(E，≤)上所有平集构成的格L，其序关系为集合包容关系。在平集格L中，交运算为S∧T=S∩T，而结运算为S∨T=∩{A∈L|S∪TA}，即L中包容S和T之并集的所有集合的交集。

格“格”一种特殊的偏序集。在许多数学对象中，所考虑的元素之间具有某种顺序。

例如，一组实数间的大小顺序；一个集合的诸子集（或某些子集）间按（被包含）所成的顺序 ；一组命题间按蕴涵所成的顺序；等等。这种顺序一般不是全序，即不是任意二元素间都能排列顺序，而是在部分元素间的一种顺序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究顺序的性质及作用而产生的概念和理论。

格论在代数学、射影几何学、集合论、数理逻辑、泛函分析以及概率论等许多数学分支中都有应用。例如，在代数学中，对于一个群G与其子群格（G）之间关 系的研究。在数理逻辑中，关于不可解度的研究。

格的定义：设（L，≤）是偏序集，若L中任意两个元素都存在上确界以及下确界，则称（L，≤）是格（lattice），为了方便，这样的格成为偏序格。

格论格论论述次序及包含的性质，是布尔代数的推广，现已成为代数的重要组成部分，并在泛函分析、赋值论、几何、逻辑、计算机科学、图论等方面有广泛的应用。所谓格即指在集合L中定义两个代数运算∨和∧，这两个代数运算满足：(1)a∨a = a ， a∧ a = a(幂等律)；(2)a ∨ b = b ∨ a，a ∧ b=b ∧ a(交换律)；(3)a ∨交换律；(3)a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨c，a ∧ b(b ∧ c)=(a∧b) ∧ c(结合律)；(4)a ∨ (a ∧b)=a，a ∧ (a∨ b)=a(吸收律)，记作(L，≤)。格论中最重要的概念是集合上的半序关系。格的种类有分配格、模格、完全格等。1

偏序集设A是一个集合，若在A内存在一个关系“≤”，它满足：

①反身性 对于任何a∈A，有a≤a；

②反对称性 对于a，b∈A，若a≤b，且b≤a，则a=b；

③传递性 对于a，b，c∈A，若a≤b，b≤c，则a≤c。

则称“≤”是集合A的一个偏序关系，也称作半有序关系。

如果a≤b，就叫做a不在b的后面，或b不在a的前面。

在一个集合A内，如果建立了一个偏序关系≤，就称集合A对于关系≤成为一个偏序集，也称作半有序集。记作(A，≤)。

由上述定义可知，偏序集就是一个集合A加上一个偏序关系≤。

例如，实数集R对于关系“≤”构成偏序集(R，≤)。

再如，设I是一个全集，幂集P(I)对于关系“⊂”是一个偏序关系，(P(I)，⊂)是一个偏序集。值得注意的是，当A，B⊂P(I)，且A∩B=Φ时，A⊂B和B⊂A都不成立，但这不要紧，因为定义中不要求对于A中的任意两个元素a和b，a≤b或b≤a必有一个成立，这就是说，它只要求这种顺序关系≤在部分元素中成立。

集合论集合论是以研究集合概念及其运算、集合中元素的序与关系、无 究集合的基数为对象的数学分支。 集合论是现代数学的基础，所有数 学概念的精确定义都有赖于集合论。

集合论中的中心难点是无究集合的概念。分析的严密化促使人们 探索实数集合的结构，从而必然导 致无究集合概念的出现。但在很长一段时间内，包括高斯(Gauss， C.F.)、柯希(Cauch，A.L.)在内的 众多数学家不承认无究集合的存 在。波尔察诺 (Bolzano，B.)在 《无究悖论》(1851)一书中维护了 实在无究集合的存在性，但在遇到 矛盾时，又得出对于超限数无需建 立运算不用深入研究的结论。康托 (Cantor，G.)致力于无究集合的研 究，从1874年开始在 《数学年 鉴》数学杂志上发表了一系列文 章，奠定了集合论的基础。

“集合”一词在通常意义下指具 有共同属性的事物或同类事物的汇总。康托所给的定义带有哲学的味 道： 集合是我们的感觉或者思维所 完全确定的某些对象汇总成一个整 体的结果。构成集合的对象称为元素。由罗素(Russell，B.)给出的悖论指出了上述定义蕴含着矛盾，从 而表明集合这一概念难以有准确的 数学表述。为克服上述矛盾，从 20世纪初开始发展起来的集合论公理系统，它包含4个基本原则：

(1)外延性原则。两个具有相同元素的集合是恒等的。

(2)集合构造原则。一定的限制类型的命题方能定义集合。

(3)无究集合的存在原理。1

(4)选择公理。如果S为非空集的一个系统，那么存在一集合 A，它与S中每个集合有且仅有一个公共元素。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学