[科普中国]-有限射影平面

有限射影平面(finite projective plane)一类组合构形，指二维有限射影空间。

射影平面在数学里，射影平面（projectiveplane）是一个延伸平面概念的几何结构。在普通的欧氏平面里，两条线通常会相交于一点，但有些线（即平行线）不会相交。射影平面可被认为是个具有额外的“无穷远点”之一般平面，平行线会于该点相交。因此，在射影平面上的两条线会相交于一个且仅一个点。

文艺复兴时期的艺术家在发展透视投影的技术中，为此一数学课题奠定了基础。射影平面的典型范例为实射影平面，亦称为“扩展欧氏平面”。此一范例在代数几何、拓扑学及射影几何内都很重要，在各领域内的形式均略有不同，可标计为PG(2,R)、RP或P2(R)等符号。还有许多其他的射影平面，包括无限（如复射影平面）与有限（如法诺平面）之类型。

射影平面是二维射影空间，但并不是所有射影平面都可以嵌入三维射影空间内。射影平面是否能嵌入三维射影空间取决于该平面是否为笛沙格平面。1

射影平面的定义射影平面由一组线、一组点，以及一个点与线之间的重合关系所组成，并具有以下性质：

给定任意两个不同的点，恰有一条线会重合这两个点。

给定任意两条不同的线，恰有一个点会重合这两条线。

存在四个点，使得没有线可以重合两个以上的这些点。

第二个条件意指不存在平行线。最后一个条件则排除了“退化”的情况。“重合”一词用来强调点与线之间关系的对称性质。因此，使用“点P重合线l”来替代“P位于l上”或“l通过P”。2

一些例子扩展欧氏平面将一般的欧氏平面变换成射影平面的步骤如下：

将每组平行线附加上一个新的点。该点可被视为重合该组的每条线。不同组平行线会得到不同的点。这些点被称为无穷远点。

增加一条线，让该线视为重合所有（且只有）无穷远点。该线被称为无穷远线。

该扩展结构即为射影平面，并被称为“扩展欧氏平面”或“实射影平面”。上述用来得到射影平面之步骤称之为“投影完备”或投影化（projectivization）。该平面亦可由将R3视为向量空间来建构。3

投影莫尔顿平面以一般的坐标表示，所有莫尔顿平面的点都是欧氏平面上的点。要从欧氏平面造出莫尔顿平面，有些线须被重新定义。亦即，部分点组成的集合将会改变，但其他的线则会维持不变。重新定义所有具负斜率的线，使这些线上的点在负x坐标（y轴左边）时维持原来的点，但在正x坐标（y轴右边）时以具相同的y轴截点但为两倍斜率之线上的点取代之，看起来就像是个“弯曲”的线。

莫尔顿平面有平行线，且为仿射平面。该平面可被投影化，如同前面的例子一般，以获得“投影莫尔顿平面”。笛沙格定理不论是在莫尔顿平面或投影莫尔顿平面上都不是个有效的定理。

有限的范例此一范例只有13个点及13条线，点标记为P1、…、P13，而线则标记为m1、…、m13。其重合关系（哪个点在哪条线上）可由以下重合矩阵给出。该矩阵的行由点标记，列由线标记。在行i及列j上的值1意指点Pi位于线mj之上，而0（此处为了便于阅读而留白）则意指点与线没有重合。该矩阵为霈橘-韦克斯勒范式。

|| ||

为证明此一范例符合射影平面的条件，可观察每两行都恰有一个共同的列出现1（每对不同点会重合唯一条线），且每两列都恰有一个共同的行出现1（每对不同线会重合唯一个点）。对许多的可能性，举点P1、P4、P5及P8为例，都会满足第3个条件。这个范例被称之为“三阶射影平面”。4

子平面概述射影平面的子平面是指该平面上点的子集，使其可组成具相同重合关系的射影平面。

理查德·于贝尔·布鲁克于1955年证明下列定理。令Π为N阶有限射影平面，且具M阶的纯子平面Π0，则N=M2或N≥M2+M。

当N为完全平方数时，{\displaystyle{\sqrt{N}}}阶的子平面称之为“贝尔子平面”（Baersubplanes）。每个平面上的点均处于贝尔子平面的一条线上，且每条平面上的线均包含一个贝尔子平面上的点。

在有限笛沙格平面PG(2,pn)里，其子平面的阶为有限域GF(pn)子域的阶，亦即为pi，其中i为n的约数。而在非笛沙格平面上，布鲁克定理可给出与子平面的阶有关的唯一讯息。该定理中不等式仍不知其为等式时的条件为何。是否在N阶子平面里存在一个M阶子平面，使得M2+M=N，这仍是个未解的问题。若此类子平面存在，则必为合数（非素数）阶的射影平面。

法诺子平面法诺子平面是指一个同构于PG(2,2)的子平面，该平面为唯一的二阶射影平面。

若考虑法诺平面上的一个“四边形”（4个点，没有3点共线），这些点可决定平面上的6条线。其他3个点（称为该四边形的“对角点”）为这6条线相交于四边形顶点外的其他点。第七条线则包含所有的对角点（通常绘成圆形或半圆形）。

将该子空间以“法诺”为名其实是一种误称。基诺·法诺（1871年-1952年），在发展一套新的欧氏几何公理时，将任一四边形的对角点绝不会共线作为其中的一个公理。这即是所谓的“法诺公理”。不过，法诺子平面其实违反了法诺公理，因此应该被称为“非法诺子平面”，但这个名称没有获得太多人的支持。

在有限笛沙格平面PG(2,q)里，法诺子平面存在当且仅当q为偶数（亦即为2的次方）。此一条件在非笛沙格平面里是不确定的。法诺子平面可能存在于任一6阶以上的非笛沙格平面内，而事实上，在所有曾被找过的非笛沙格平面（无论是奇数或偶数阶）内，均被发现含有法诺子平面。5

仿射平面欧氏平面的投影化能产生实射影平面。相反的操作，从射影平面开始，移除一条线及所有与该线重合的点，可得到仿射平面。

定义更形式化地说，仿射空间由一组线、一组点，及一个点与线间的重合关系，并具有下列性质：

给定任意两个不同的点，恰有一条线重合两个点。

给定任意直线l及任意不与l重合的点P，恰有一条与P重合，且不与l相交的线。

存在4个点，使得没有线能重合两个以上的这些点。

第2个条件指存在平行线，并被称为普莱费尔公理。该条件内的“不相交”为“不存在重合两条线的点”之简写。

欧氏平面与莫尔顿平面均为无限仿射平面的例子。有限射影平面在移除一条线或该线上的点后，会形成一个有限仿射平面。有限仿射平面的阶为该平面上任一线的点之数量（其数值会与其由来之射影平面的阶相同）。由射影平面PG(2,q)形成的仿射平面标记为AG(2,q)。

存在N阶射影平面，当且仅当存在N阶仿射平面。当只有一个仿射平面为N阶时，亦只会有一个射影平面为N阶，但反之不一定正确。移除射影平面上不同的线所形成的仿射平面间会同构，当且仅当移除的线在射影平面直射变换群属同一轨道。这些叙述在无限射影平面时亦成立。

从仿射平面建构射影平面K上的仿射平面K2可透过将仿射（非齐次）坐标映射至齐次坐标来嵌入KP2，

其像的互补为(x1,x2,0)形式的点。从刚才所给的嵌入之观点来看，这些点为无穷远点，会构成KP2内的一条线，即该线由K3内的平面

所形成，称之为无穷远线。无穷远点是平行为在建构扩展实平面时会增加的“额外”点；其中，点(x1,x2,0)即为所有斜率为x2/x1的线会相交之点。例如，考虑两条在仿射平面K上的线：

这两条线的斜率均为0且不相交。可透过上述的嵌入将这两条线视为KP的子集，但这些子集并不是KP的线，还需要在每个子集上加入点(1,0,0)；亦即，让：

上面两个集合才是KP2内的线。ū由K3内的平面

所形成；而ȳ则由平面

所形成。

投影线ū与ȳ相交于(1,0,0)。事实上，所有在K2内斜率为0的线，当以上述方式投影化后，均会相交于KP2内的点(1,0,0)。

当一仿射平面不具有K为除环之K2形式时，仍能被嵌入于一射影平面内，但上面所用之建构并无法生效。为执行此类嵌入的一个常用方法涉及扩展仿射坐标的集合，并需作用于更一般的“代数”内。6

退化平面退化平面不符合射影平面定义的第三个条件。退化平面在结构上不够杂复到足以有趣，但不时会作为一般论述的特例出现。共有7个退化平面（（Albert&Sandler1968））如下：

空集合;

一个点，没有线；

一条线，没有点；

一个点，一组线，该点重合所有的线；

一条线，一组点，该线重合所有的点；

点P重合线m，任意（亦可能没有）条线均与P重合，且任意个点均与m重合；

点P不重合线m，任意（亦可能没有）条线均与P重合，且任意个点均与m重合。

这7种情形并不是完全独立的，第4种与第5种情形可视为第6种情形之特例，第2种与第3种情形则可分别视为第4种与第5种情形之特例。第7种情形可因此被分成两类退化平面如下（下述表示为有限退化平面之情况，但亦可自然地扩展至无限多）：

1)对任意多点P1,...,Pn，及线L1,...,Lm，

L1={P1,P2,...,Pn}

L2={P1}

L3={P1}

...

Lm={P1}

2)对任意多点P1,...,Pn，及线L1,...,Ln（点与线的数量一样），

L1={P2,P3,...,Pn}

L2={P1,P2}

L3={P1,P3}

...

Ln={P1,Pn}7

有限射影平面可证明一个射影平面会有相同数量的点与线（有限或无限）。因此，对每个有限射影平面而言，总存在一个整数N≥2，使得该平面有N2+N+1个点，N2+N+1条线，每条线上有N+1个点，且每个点会有N+1条线。该整数N即称为该射影平面的阶。

利用有限域的向量空间建构，可知存在一个为N=pn阶的射影平面，其中pn为任一素数幂次。实际上，所有已知的有限射影平面，其阶均为素数幂次。

是否存在其他阶的有限射影平面仍是个未解的问题。唯一一个已知在阶上的限制为Bruck–Ryser–Chowla定理，描述若阶N同余于1或2模4，则必为两个完全平方数之和。这排除了N=6。下一个N=10的例子也已透过大量的电脑运算排除。剩下的什么都还不知道；尤其是，是否存在一个12阶的有限射影平面仍然未决。

另一个存在已久的未决问题为，是否存在一个“素数”阶有限射影平面不是有限域平面（等价地说，是否存在一个素数阶的非笛沙格射影平面）。

N阶射影平面均为斯坦纳系统S(2,N+1,Nn+N+1)。相反地，亦可证明所有具(λ=2)形式的斯坦纳系统均为射影平面。

N阶相互正交拉丁方阵的数量至多为N−1，且等式存在当且仅当存在一个N阶射影平面。7

另见区组设计

组合设计

重合结构

射影几何

实射影平面

非笛沙格平面

切触结构

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学