[科普中国]-测地坐标系

简介

测地坐标系是曲面上的一种特殊坐标系。在曲面上取一族测地线为u曲线，取这族测地线的正交轨线为二曲线(称为测地平行线)，这种坐标系称为测地坐标系。例，平面极坐标系，一族坐标曲线是由极点出发的射线，这是平面上的测地线，另一族坐标曲线是以极点为中心的同心圆，它们是上述测地线的正交轨线，因此平面极坐标系是一种测地坐标系。

测地坐标系分成测地平行坐标系和测地极坐标系两种。测地坐标是在曲面内蕴几何学意义下最简单、最适当的坐标系。

建立方法测地平行坐标构作如下：

取一条测地线C₀作为u=0曲线；经过曲线C₀上每一点、沿着C₀正交的方向作测地线，得到依赖一个参数的测地线族作为u曲线族；再作上述测地线族的正交轨线，作为v曲线族。此时，曲面的第一基本型成为

其中函数G（u，v）满足条件

测地平行坐标系中曲线C0点附近是成立的。

测地极坐标系的构作如下：

取一点p，从点p出发沿各个切方向作测地射线，得到依赖一个参数的测地射线族，作为u曲线族；再作以点p为中心点测地圆（geodesic circle），即到点p的距离为常数的点点轨迹，作为v曲线族。此时，这两族曲线是彼此正交的，故曲面的第一基本型成为其中函数G（u，v）满足条件

测地极坐标系在点p的附近、除去从点p出发点一条测地射线以外的区域上是成立的。2

测地线曲面上测地曲率恒为零的曲线称为该曲面上的测地线，测地线所满足的微分方程是

或者写成一般的形式

式中，是曲面的克氏符号，（也记成）是测地线的参数方程。当曲面作保长变换时，测地线变成测地线。因此，测地线是属于曲面的内蕴几何概念。当曲面上取正交参数曲线网时，测地线的微分方程成为