[科普中国]-子基

定义

设 是拓扑空间， ，若 中元素的一切有限交之族，即 ={ 是 中有限个元素的交}是集合X上的拓扑 的基，则称 是拓扑 的子基， 中的元素称为子基开集。2

相关概念设 是拓扑空间， ,若 的元素都可表示为 中某些元素的并，即对于 ，存在 使得 ，则称 是拓扑 的基或拓扑基，也称为拓扑空间 的基或拓扑基， 中的元素称为基开集。2

例1 设 是任意拓扑空间，则 就是它的基。

例2 设X是非空集，记

则 是集合X上的离散拓扑的基。

相关定理定理1设 是拓扑空间， ,则 是拓扑 的基的充分必要条件是对于任意 ，任意 ，存在 ，使得 。2

证明： 必要性：对于 ，因为 是 的基，从而

其中 ，所以对于任意 ，存在 ，使得

充分性：任取 ，若 ，则取 ，从而 ，若 ，则对于任意 ，存在 使得

于是 ，记 ，因此 ，又 ，所以 是 的基。

定理2设 是非空集X的一个子集族，则 是集合X 上的某一拓扑的基的充分必要条件是 满足下列条件

(1) ；

(2)对于任意 是 中某些元素的并。

若 满足上述两个条件，则集合X上以 为基的拓扑是唯一的，此拓扑称为以为基生成的集合X上的拓扑。

定理3设X为非空集， ，并且 ，则集合X上存在唯一拓扑以 为子基，这个拓扑称为以 为子基生成的集合X上的拓扑2。

证明 记

={B B是 中有限个元素的交}.

因为 ，从而 ，又对于 中任意两个元素的交是 中元素的有限交，可见 的任意两个元素的交属于 ，于是这个交是 中元素的并。因此，从定理2中条件的充分性可知，集合X上有拓扑 以 为它的基，所以 是此拓扑 的子基，若 *是以 为子基的集合X上的另一拓扑，则根据子基定义， *是以为基，所以，由定理2可知 *=。 2

例3 设 ，则以 为子基生成的集合X上的拓扑是