概念
离散族(discrete family)是一类集族。设U是拓扑空间X的子集族。若对于任意x∈X,存在x的邻域V,使得V与U中至多一个元相交,则称U是X的离散族。U是离散族,当且仅当:
是两两不相交的局部有限族。离散族一定是局部有限族。若U可以表示为X的可数个离散族的并,则称U是X的σ离散族。
集族集族是一种特殊的集合。以集合为元素的集合称为集族。例如,集A的幂集P(A)是一个集族。P(P(A)),P(P(P(A))都是集族。集族常用花体字母A,B,C等表示.取A为标号集,A到集族A的一一对应(双射)为f:a→Aa,则集族A可记为{Aa|a∈A}或{Aa}a∈A。当A为线性序集{…,a,…,b,…,c,…}时,集族{…,Aa,…,Ab,…,Ac,…}称为集列。
由一些集合作为元素所组成的集合,称为集族。
例如,由空集φ,集合A={1,2,3}作为元素的集合M={φ,A}是一个集族。
注意,由空集φ作为元素的集合是一个集族,它已不是空集,即A={φ},它不同于{ }。在这里,A= {φ}是具有一个元素的集合,是单元素集。2
集合集合是现代数学的一个重要的基本概念。当我们把一组确定的事物作为整体来考察时,这一整体就叫做集合。
例如,(1)从1到10这10个自然数的全体;(2)小于100的所有质数的全体;(3)全体自然数;(4)一个班所有学生这一整体;(5)世界上所有国家组成的一个整体;等等,它们都是集合的例子。
上述例子可以看出,它们都是分别由不同的对象组成的一个整体,它们的特点是有确定的对象和具有一定的范围。所以集合这个概念可以用以下的语言来描述:
集合是具有一定范围的、确定的对象的全体。集合也简称为集。
在数学中,集合是一个不加定义的“原始概念”。这就是说,不能用比它更原始的概念去定义它。因此,集合在数学中被作为原始的最基本的概念来定义其它数学概念。集合是数学概念的出发点。
集合概念具有以下一些属性:
(1)集合指的是一类事物的整体,而不是指其中的个别事物。
(2)集合中的任一对象具有确定性,即对于任何事物,可以通过某种法则确定其是否属于某集合,或不属于某集合,二者必居其一。(应指出,不具有这条属性的,界限不清的集合是模糊集合。我们这里所说的集合不是模糊集合,而是普通集合。)
(3)在一般情况下,约定一个集合中的各个对象是互不相同的。凡一个集合中所有相同的对象均应合并起来成为一个对象。例如,由1,1,2,2四个数组成的集合,应变成由1,2两个数组成的集合。
(4)在一般情况下,集合只与组成它的成员有关,而与它的成员的顺序无关。如由1,2,3,4组成的集合与由2,1,4,3组成的集合是同一个集合。
(5)一个集合不必由同一类事物作为它的对象。例如,由2, 3,a,b可以组成一个集合。
集合一般用大写字母A,B,C,…表示。
子集子集是表示一个集合与另一个集合的一种关系。
设A和B是两个集合,若集合B包含A,或集合A包含于B,即A⊆B或B⊇A,则把集合A叫做集合B的子集,并把集合B叫做集合A的扩张集(或母集),简称扩集。
例如,集合A={1,2}是集合B={1,2,3,4,5}的子集;再如,设集合A={a|a为直角三角形},集合B={a|a为三角形},则A就是B的子集,B是A的扩集。
根据子集的定义和包含关系的性质,有:
①任何一个集合都是它自身的子集,同时也是它自身的扩集;
②空集Φ是一切集合的子集;
③设A,B,C是三个集合,若A是B的子集,B又是C的子集,则A也一定是C的子集。
若一个集合A是集合B的且异于B的子集,则称A是B的真子集,B叫做A的真扩集,记作A⊂B或B⊃A。
根据真子集的定义,有:
①若集合A是集合B的真子集,则A的每一个元素都属于B,但B中至少有一个元素不属于A;
②空集Φ是任何非空集合的真子集,任何非空集合都是空集Φ的真扩集;
③任何一个集合A都不是它自身的真子集。
拓扑空间欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集,在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间,这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间,1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合,并使用了“邻域”概念,根据这一概念建立了抽象空间的完整理论,后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代,原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究,并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性,他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。
20世纪30年代后,法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念,使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念,推广了距离空间,还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间,提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念,他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。
此外,美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性,1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论,为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展,不断取得新的成果。3