[科普中国]-亚紧空间

拓扑

拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。

拓扑英文名是Topology，直译是地志学，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现的一些孤立的问题，在后来的拓扑学的形成中占着重要的地位。1

拓扑性质设X是一个非空集合，X的幂集的子集（即是X的某些子集组成的集族）T称为X的一个拓扑。当且仅当：

1．X和空集{}都属于T；

2．T中任意多个成员的并集仍在T中；

3．T中有限多个成员的交集仍在T中。

称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,T）。

称T中的成员为这个拓扑空间的开集。

定义中的三个条件称为拓扑公理。（条件（3）可以等价的换为τ中两个成员的交集仍在τ中。）

从定义上看，给出某集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。这些规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理。

一般说来，一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑。在不引起误解的情况下，也常用集合来代指一个拓扑空间，如拓扑空间X，拓扑空间Y等。

同时，在拓扑范畴中，我们讨论连续映射。定义为：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定义的拓扑）是连续的当且仅当开集的原像是开集。两个拓扑空间同胚当且仅当存在一一对应的互逆的连续映射。同时，映射同伦和空间同伦等价也是很有用的定义。2

拓扑空间的性质性质1集合X的离散拓扑T是X的最大拓扑，即对X的每一个拓扑T1，均有。

证明由拓扑T1的定义可得： 对A∈T1，有A∈ P(x)。此外，T是X的离散拓扑意味着T =P(x) ，因此，A∈T，从而由A的任意性可知。

性质2离散拓扑空间(X，T) 中：

①点x的邻域系是Ux= AX | x∈ A}，即凡是X的包含x的子集都是x的邻域。

② X的每一个子集既开又闭。

证明对任意的x∈X，有{x}∈P(x)= T，故{x} 是开集。另外，对任意的x ∈ AX，有x∈{x}A，从而由邻域的定义可知A是X的邻域。

设A是X中的任一子集，那么有A∈P(x)=T，即A是开集。另一方面，由X ～ AX可得Ac∈P(x)= T， 故A是闭集。

注： 一般拓扑空间的子集也可能是既不开也不闭的。

性质3离散拓扑空间(X，T) 中，若AX，则A的导集A' =，即A中不含有任何一个聚点。

证明对任意的x∈X，存在x的一个开邻域{x} ，使得{x}∩(A －{x} )=，从而x不是A的聚点，因此，由x的任意性可得：集合A中不含有任何一个聚点，即A' =。

仿紧空间仿紧空间是一类重要的拓扑空间。为了讨论拓扑空间的可度量化问题，迪厄多内(Dieudonné，J.)于1944年引入仿紧空间的概念。设X为拓扑空间。若X的任意开覆盖都有局部有限的开覆盖加细，则称X为仿紧空间。紧空间是仿紧空间。度量空间也是仿紧空间。反之未必成立。仿紧空间是紧空间的一种最重要的推广。对于这一类空间的研究，不仅从内容上推广了紧空间理论，而且较大地发展了覆盖方法，有力地推动了一般拓扑学的发展，特别是广义度量空间理论和度量化问题的广泛进展。另外，仿紧空间在微分流形、代数拓扑和泛函分析中也有重要的应用。仿紧性具有闭遗传性。仿紧T2空间的闭连续像是仿紧T2的。仿紧T2空间是全体正规空间。全体正规空间是仿紧空间。仿紧T2空间中的Fσ集是仿紧的。在完全映射下，仿紧空间的原像是仿紧的。仿紧空间是亚紧的、可数仿紧的、族正规的。可数紧的仿紧空间是紧空间。林德勒夫空间是仿紧的。斯通(Stone，A.H.)于1948年、迈克尔(Michael，E.)于1953年给出了仿紧性的几个等价条件。森田纪一(Morita，K.)和玉野(Tamano，H.)于1960—1962年也分别给出了几个等价条件。3

强仿紧空间强仿紧空间(strongly paracompact space)亦称星有限空间或S空间。是一类拓扑空间。设X是拓扑空间，若X的任意开覆盖都存在星有限开覆盖加细，则称X为强仿紧空间。强仿紧空间是仿紧空间。正则的林德勒夫空间是强仿紧空间。强仿紧空间是岛克(Dowker，C.H.)于1947年定义的。斯米尔诺夫(Смирнов，Ю.М.)于1956年给出了强仿紧空间的等价条件。卡普兰(Kaplan，S.)和亚历山德罗夫(Александров，П.С.)于1947年证明了可分度量空间是强仿紧的。4

亚紧空间亚紧空间 (metacompact space)亦称点式仿紧空间或弱仿紧空间，是指一类拓扑空间。若拓扑空间X的任意开覆盖都存在点有限的开覆盖加细，则称X为亚紧空间。若X的任意可数开覆盖都存在点有限的开覆盖加细，则称X为可数亚紧空间。仿紧空间是亚紧空间。亚紧空间是可数亚紧空间。可数紧的亚紧空间是紧空间。亚紧的族正规空间是仿紧的，这是迈克尔(Michael, E.)和永见(Nagami, K.)于1955年分别独立证明的。

局部紧空间定义1空间X称为i-型局部紧空间(i=1,2,3),是指它满足下面的条件:

1)X中每一点都有一个紧邻域;

2)X中每一点都有一个紧邻域基;

3)X中每一点x的任意一个邻域U包含一个开邻域V,使得V U,且V是紧的.

定义2 空间X称为i-型局部强仿紧空间(i=1,2,3),是指它满足下面的条件:

1)X中每一点都有一个强仿紧邻域;

2)X中每一点都有一个强仿紧邻域基;

3)X中每一点x的任意一个邻域U包含一个开邻域V,使得V U,且V是强仿紧的.

定义3 在空间X中,Y是X的子集。若Y作为X的子空间是强仿紧空间，则称Y是X的强仿紧子集。显然强仿紧空间必是1-型局部强仿紧空间，因为强仿紧空间本身是它的任何一点的强仿紧邻域。由定义2可知,三者之间的关系：3-型局部强仿紧空间是2-型局部强仿紧空间，也是1-型局部强仿紧空间。5