[科普中国]-积一致结构

概念

积一致结构是积空间上的一致结构。设对于任意α∈Λ，(Xα，Uα)为一致空间。Xα上的积一致结构是使得到每一个坐标空间(Xα，Uα)内的射影为一致连续的Xα上的最小一致结构，记为Uα。一致空间：2

称为{(Xα，Uα)}α∈Λ的积一致空间。积一致结构Uα诱导的拓扑恰好是每个Uα(α∈Λ)诱导的拓扑的积拓扑。一致空间的子空间和积一致空间的有关结果是韦伊(Weil，A.)于1938年给出的。

拓扑空间拓扑空间是欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。

20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。

此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。

积空间积空间是一类重要的拓扑空间。若{(Xα，Tα)|α∈D}为一族拓扑空间，

为{Xα}α∈D的笛卡儿乘积，pα：X→Xα为X到坐标空间Xα的投影，则以

S={pα(Uα)|α∈D，Uα∈Tα}

为子基生成的拓扑T称为X上的积拓扑，(X，T)称为{(Xα，Tα)|α∈D}的积空间。S的元素的所有有限交构成的集族B是积拓扑的基。弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1910年首先讨论抽象空间的积空间。任意多个拓扑空间的积空间是由吉洪诺夫(Тихонов，А.Н.)于1930年定义的。在笛卡儿乘积上引入积拓扑是从已知拓扑空间构成新拓扑空间的重要方法。吉洪诺夫的论文不仅定义了积空间，也提出了一些重要性质。他的结果使积空间成为现代一般拓扑的典型工具之一。不仅在可度量化和紧化问题上给出了完美的结果，而且对函数空间的拓扑结构也给出了深刻的刻画。

一致结构一致结构是集合上的一种结构。设X为集合，U为X×X的非空子集族。若U满足下列条件，则称U是X上的一致结构：

1.U的每一个元包含对角线Δ。

2.若U∈U，则U∈U，其中

U={(x，y)|(y，x)∈U}

3.若U∈U，则存在V∈U使得V°VU，其中

4.若U，V∈U，则U∩V∈U。

5.若U∈U并且UVX×X，则V∈U。

具有一致结构U的集合X称为一致空间，记为(X，U)。一致空间的概念是韦伊(Weil，A.)于1938年引入的.布尔巴基(Bourbaki，N.)于1940年首先给予系统的论述。图基(Tukey，J.W.)于1940年用覆盖族定义并研究了一致空间的等价的概念。艾斯贝尔(Isbell，J.R.)于1964年出版的书中，包含了用覆盖叙述的一致空间理论的重要发展。一致空间也可用伪度量族来描述，它是由布尔巴基于1948年给出的。3

一致空间在数学领域拓扑学中，一致空间是带有一致结构的集合。一致空间是带有用来定义一致性质如完备性、一致连续和一致收敛的附加结构的拓扑空间。

一致空间的概念是韦伊(Weil，A.)于1938年引入的。布尔巴基(Bourbaki，N.)于1940年首先给予系统的论述。图基(Tukey，J.W.)于1940年用覆盖族定义并研究了一致空间的等价的概念。一致空间有三个等价定义，分别是周围定义、伪度量定义和一致覆盖定义。

在一致结构和拓扑结构之间的概念区别是在一致空间内可以形式化有关于相对邻近性和点间临近性的特定概念。换句话说，想法如“x邻近于a胜过y邻近于b”在一致空间是有意义的。相对的，在一般拓扑空间内，给定集合A, B只能有意义的说点x“任意邻近”A（就是说在 A 的闭包中），或者说A是比B更小的x的“邻域”，但是点间邻近性和相对邻近性不能单独用拓扑结构描述。

一致空间推广了度量空间和拓扑群因此是多数数学分析的根基。4